X²+6x|≤27;

Чтобы решить неравенство \( x^2 + 6x \leq 27 \), сначала приведем его к стандартному виду. Выразим неравенство таким образом:

\[ x^2 + 6x - 27 \leq 0. \]

Теперь найдем корни соответствующего уравнения, решив:

\[ x^2 + 6x - 27 = 0. \]

Для этого можно использовать формулу корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 1 \), \( b = 6 \), \( c = -27 \). Сначала вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144. \]

Теперь подставим значения в формулу корней:

\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1}. \] \[ x = \frac{-6 \pm 12}{2}. \]

Это дает нам два корня:

1. \( x_1 = \frac{6}{2} = 3, \)
2. \( x_2 = \frac{-18}{2} = -9. \)

Теперь у нас есть корни \( x = -9 \) и \( x = 3 \). Они разбивают числовую прямую на три промежутка: \( (-\infty, -9) \), \( (-9, 3) \) и \( (3, +\infty) \).

Чтобы определить знак выражения \( x^2 + 6x - 27 \) в каждом из этих промежутков, проверим тестовые точки:

1. Для промежутка \( (-\infty, -9) \), например, \( x = -10 \): \[ (-10)^2 + 6(-10) - 27 = 100 - 60 - 27 = 13 > 0. \] Значит, положительно.

2. Для промежутка \( (-9, 3) \), например, \( x = 0 \): \[ 0^2 + 6(0) - 27 = -27 < 0. \] Значит, отрицательно.

3. Для промежутка \( (3, +\infty) \), например, \( x = 4 \): \[ 4^2 + 6(4) - 27 = 16 + 24 - 27 = 13 > 0. \] Значит, положительно.

Теперь мы знаем, что:

• \( x^2 + 6x - 27 > 0 \) для \( x < -9 \) и \( x > 3 \),
• \( x^2 + 6x - 27 < 0 \) для \( -9 < x < 3 \).

Поскольку нас интересует неравенство \( x^2 + 6x - 27 \leq 0 \), решение:

\[ x \in [-9, 3]. \]

Таким образом, окончательный ответ: \( -9 \leq x \leq 3 \).