Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Через какой промежуток времени после броска кинетическая энергия мяча будет в 4 раза меньше начальной?

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним, как рассчитывается кинетическая энергия (КЭ) и как она меняется с течением времени при броске мяча вверх.

Кинетическая энергия мяча в начальный момент времени (КЭ₀) определяется по формуле: \[ KЭ₀ = \frac{1}{2} m v₀^2 \] где \( v₀ = 20 \, \text{м/с} \) — начальная скорость, а \( m \) — масса мяча.

Через время \( t \) после броска кинетическая энергия мяча будет равна: \[ KЭ = \frac{1}{2} m v^2 \] где \( v \) — скорость мяча в момент времени \( t \).

При движении вверх скорость мяча изменяется с учетом ускорения свободного падения (g ≈ 9.81 м/с²) как: \[ v = v₀ - g t \] где \( v₀ = 20 \, \text{м/с} \).

Теперь мы ищем момент времени \( t \), когда кинетическая энергия мяча в 4 раза меньше начальной: \[ KЭ = \frac{1}{4} KЭ₀ \]

Подставим формулы для кинетической энергии: \[ \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} m v₀^2\right) \]

Упрощаем уравнение, убирая общие множители и сокращая на \( \frac{1}{2}m \): \[ v^2 = \frac{1}{4} v₀^2 \]

Подставим значение \( v₀ \): \[ v^2 = \frac{1}{4} (20 \, \text{м/с})^2 \] \[ v^2 = \frac{1}{4} \cdot 400 \] \[ v^2 = 100 \]

Теперь найдем скорость \( v \): \[ v = \sqrt{100} = 10 \, \text{м/с} \]

Теперь мы можем найти время \( t \), когда скорость мяча достигнет 10 м/с: \[ 10 \, \text{м/с} = 20 \, \text{м/с} - 9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot t \]

Решим это уравнение для \( t \): \[ 9.81 \, t = 20 - 10 \] \[ 9.81 \, t = 10 \] \[ t = \frac{10}{9.81} \approx 1.02 \, \text{с} \]

Таким образом, кинетическая энергия мяча станет в 4 раза меньше начальной примерно через 1.02 секунды после броска.