2sin²x+sin x-1=0
Чтобы решить уравнение \( 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \), мы можем начать с представления его в более удобной форме. Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \).
Давайте обозначим \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:
\[ 2y^2 + y - 1 = 0. \]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 2 \), \( b = 1 \), и \( c = -1 \). Подставляем значения в формулу:
\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}. \]
Теперь у нас есть два возможных значения для \( y \):
- \( y_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \)
- \( y_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1. \)
Теперь возвращаемся к \( \sin x \):
\( \sin x = \frac{1}{2} \) — это значение функции синуса достигается в углах \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), где \( k \) — целое число.
\( \sin x = -1 \) — это значение функции синуса достигается в угле \( x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \), где \( k \) также — целое число.
Таким образом, полное решение уравнения \( 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \) включает в себя:
- \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)
- \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)
- \( x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \)
означая, что \( k \) является любым целым числом.
