Метод приведения новой переменной 2sin²x-sin x-1=0

Для решения уравнения \(2\sin^2x - \sin x - 1 = 0\) можно использовать метод введения новой переменной. Обозначим \(\sin x = t\). Тогда уравнение принимает вид:

\[2t^2 - t - 1 = 0.\]

Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант \(D\) вычисляется следующим образом:

\[D = b^2 - 4ac,\]

где \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -1\). Подставим значения:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.\]

Теперь находим корни уравнения по формуле:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставим найденные значения:

\[t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}.\]

Таким образом, получаем два корня:

1. \(t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1\),
2. \(t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}.\)

Теперь вспомним, что \(t = \sin x\). Найдем соответствующие значения \(x\):

1. Для \(\sin x = 1\), \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) — любое целое число.
2. Для \(\sin x = -\frac{1}{2}\), \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) — любое целое число.

Таким образом, все решения уравнения \(2\sin^2x - \sin x - 1 = 0\) можно записать в виде:

\[x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\] \[x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi,\] \[x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi.\]

Если у вас есть еще вопросы по этому материалу, не стесняйтесь задавать их!