Зная что соs x = 3/4 ,xє ( 0,п/2) найти соs x/2 , tg x/2

Чтобы найти \(\cos \frac{x}{2}\) и \(\tan \frac{x}{2}\), зная, что \(\cos x = \frac{3}{4}\) и \(x \in (0, \frac{\pi}{2})\), мы можем использовать формулы для половинного угла.

1. Нахождение \(\cos \frac{x}{2}\):

Формула для косинуса половинного угла выглядит так:

\[ \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} \]

Подставим значение \(\cos x\):

\[ \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + 0.75}{2}} = \sqrt{\frac{1.75}{2}} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4} \]

2. Нахождение \(\tan \frac{x}{2}\):

Формула для тангенса половинного угла выглядит так:

\[ \tan \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{\sin x} \]

Сначала найдем \(\sin x\), используя основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \implies \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \]

Следовательно, \(\sin x = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\), так как \(x\) находится в диапазоне \((0, \frac{\pi}{2})\), где синус положителен.

Теперь подставим значения в формулу для тангенса:

\[ \tan \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{1 - \frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7} \]

Итак, мы получили результаты:

\[ \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{14}}{4}, \quad \tan \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{7}}{7} \]