Решите задачу Сегодня в школу пришли 81 ученик восьмых классов. Они решили узнать, кто сделал домашнее заданние на сегодня. По химии выполнили 43 человека, по алгебре 51, по литературе 35, по химии и по алгебре 28, по литературе и алгебре 23, 17 учеников сделали домашное задание по трём предметам. Сколько учеников не выполнили им одного домашнего задания?

Question 1

Задача Задача №2409987

А

Аноним

04 декабря 2024 05:53 · публичный вопрос

А

Аноним 04 декабря 2024 05:53

Решите задачу Сегодня в школу пришли 81 ученик восьмых классов. Они решили узнать, кто сделал домашнее заданние на сегодня. По химии выполнили 43 человека, по алгебре 51, по литературе 35, по химии и по алгебре 28, по литературе и алгебре 23, 17 учеников сделали домашное задание по трём предметам. Сколько учеников не выполнили им одного домашнего задания?

Answer

Чтобы решить эту задачу, давайте используем метод включения-исключения. Обозначим:

\( A \) — количество учеников, сделавших домашнее задание по химии.
\( B \) — количество учеников, сделавших домашнее задание по алгебре.
\( C \) — количество учеников, сделавших домашнее задание по литературе.
\( |A| = 43 \)
\( |B| = 51 \)
\( |C| = 35 \)
\( |A \cap B| = 28 \) (ученики, сделавшие домашку по химии и алгебре)
\( |A \cap C| = x \) (ученики, сделавшие домашку по химии и литературе)
\( |B \cap C| = 23 \) (ученики, сделавшие домашку по алгебре и литературе)
\( |A \cap B \cap C| = 17 \) (ученики, сделавшие домашку по всем трём предметам)

Сначала найдем количество учеников, которые сделали дом. задание хотя бы по одному предмету, используя формулу включения-исключения:

\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \]

Подставляя известные значения:

\[ |A \cup B \cup C| = 43 + 51 + 35 - 28 - x - 23 + 17 \]

Теперь упрощаем уравнение:

\[ |A \cup B \cup C| = 43 + 51 + 35 - 28 - 23 + 17 - x = 95 - x \]

Теперь нужно найти \( x \) — количество учеников, сделавших домашнее задание по химии и литературе. Для этого воспользуемся дополнительным анализом. У нас есть общее количество учащихся:

\[ |A \cup B \cup C| + |N| = 81 \]

Где \( |N| \) — количество учеников, которые не сделали ни одного задания. Подставим выражение для \( |A \cup B \cup C| \):

\[ 95 - x + |N| = 81 \]

Таким образом, мы получаем:

\[ |N| = 81 - (95 - x) = x - 14 \]

Согласно условиям задачи, количество студентов, которые не выполнили ни одно домашнее задание, должно быть ≥ 0:

\[ x - 14 ≥ 0 \Rightarrow x ≥ 14 \]

Теперь можно выразить количество учеников, которые выполнили домашнее задание по всем предметам, как:

\[ |A \cup B \cup C| = 95 - 14 = 81 \]

Последним шагом можно найти количество учащихся, которые не выполнили ни одно домашнее задание. Из условия:

\[ |N| = 81 - |A \cup B \cup C| = 81 - 81 = 0 \]

Вернемся к нашему выражению и подставим \( x = 17 \):

\[ |N| = 81 - (95 - 17) = 81 - 78 = 3 \]

Следовательно, 3 ученика не выполнили ни одного домашнего задания.

Question 2

Решите задачу Сегодня в школу пришли 81 ученик восьмых классов. Они решили узнать, кто сделал домашнее заданние на сегодня. По химии выполнили 43 человека, по алгебре 51, по литературе 35, по химии и по алгебре 28, по литературе и алгебре 23, 17 учеников сделали домашное задание по трём предметам. Сколько учеников не выполнили им одного домашнего задания?

Answer

Чтобы решить эту задачу, давайте используем метод включения-исключения. Обозначим: - \( A \) — количество учеников, сделавших домашнее задание по химии. - \( B \) — количество учеников, сделавших домашнее задание по алгебре. - \( C \) — количество учеников, сделавших домашнее задание по литературе. - \( |A| = 43 \) - \( |B| = 51 \) - \( |C| = 35 \) - \( |A \cap B| = 28 \) (ученики, сделавшие домашку по химии и алгебре) - \( |A \cap C| = x \) (ученики, сделавшие домашку по химии и литературе) - \( |B \cap C| = 23 \) (ученики, сделавшие домашку по алгебре и литературе) - \( |A \cap B \cap C| = 17 \) (ученики, сделавшие домашку по всем трём предметам) Сначала найдем количество учеников, которые сделали дом. задание хотя бы по одному предмету, используя формулу включения-исключения: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \] Подставляя известные значения: \[ |A \cup B \cup C| = 43 + 51 + 35 - 28 - x - 23 + 17 \] Теперь упрощаем уравнение: \[ |A \cup B \cup C| = 43 + 51 + 35 - 28 - 23 + 17 - x = 95 - x \] Теперь нужно найти \( x \) — количество учеников, сделавших домашнее задание по химии и литературе. Для этого воспользуемся дополнительным анализом. У нас есть общее количество учащихся: \[ |A \cup B \cup C| + |N| = 81 \] Где \( |N| \) — количество учеников, которые не сделали ни одного задания. Подставим выражение для \( |A \cup B \cup C| \): \[ 95 - x + |N| = 81 \] Таким образом, мы получаем: \[ |N| = 81 - (95 - x) = x - 14 \] Согласно условиям задачи, количество студентов, которые не выполнили ни одно домашнее задание, должно быть ≥ 0: \[ x - 14 ≥ 0 \Rightarrow x ≥ 14 \] Теперь можно выразить количество учеников, которые выполнили домашнее задание по всем предметам, как: \[ |A \cup B \cup C| = 95 - 14 = 81 \] Последним шагом можно найти количество учащихся, которые **не** выполнили ни одно домашнее задание. Из условия: \[ |N| = 81 - |A \cup B \cup C| = 81 - 81 = 0 \] Вернемся к нашему выражению и подставим \( x = 17 \): \[ |N| = 81 - (95 - 17) = 81 - 78 = 3 \] Следовательно, **3 ученика** не выполнили ни одного домашнего задания.