Найдите область определения функции у=(х+5)-³ у=√х²-7х+6

Чтобы найти область определения функции, необходимо определить, для каких значений переменной \(x\) функции принимают значения.

1. Функция \(y = (x + 5)^{-3}\):

Эта функция будет определена для всех \(x\), кроме тех, где выражение в знаменателе равно нулю. В данном случае у нас нет явного знаменателя, но мы знаем, что \(x + 5\) не должно равняться 0:

\[ x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5 \]

Таким образом, область определения этой функции: \(x \in \mathbb{R}, x \neq -5\) (все реальные числа, кроме -5).

2. Функция \(y = \sqrt{x^2 - 7x + 6}\):

Здесь мы имеем дело с корнем, и поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным:

\[ x^2 - 7x + 6 \geq 0 \]

Для решения неравенства сначала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 7x + 6 = 0\):

\[ (x - 1)(x - 6) = 0 \implies x = 1, \, x = 6 \]

Теперь определим знаки выражения \(x^2 - 7x + 6\) на промежутках, разделенных корнями, то есть на интервалах \((- \infty, 1)\), \((1, 6)\), и \((6, +\infty)\).

1. Для \(x < 1\), выбираем \(x = 0\): \[ 0^2 - 7 \cdot 0 + 6 = 6 \geq 0 \quad (\text{в этом интервале выражение } \geq 0) \]

2. Для \(1 < x < 6\), выбираем \(x = 3\): \[ 3^2 - 7 \cdot 3 + 6 = 9 - 21 + 6 = -6 < 0 \quad (\text{в этом интервале выражение } < 0) \]

3. Для \(x > 6\), выбираем \(x = 7\): \[ 7^2 - 7 \cdot 7 + 6 = 49 - 49 + 6 = 6 \geq 0 \quad (\text{в этом интервале выражение } \geq 0) \]

Таким образом, выражение под корнем неотрицательно на интервалах: \[ (-\infty, 1] \cup [6, +\infty) \]

Итог:

• Для функции \(y = (x + 5)^{-3}\) область определения: \(x \in \mathbb{R}, x \neq -5\).
• Для функции \(y = \sqrt{x^2 - 7x + 6}\) область определения: \((- \infty, 1] \cup [6, +\infty)\).