2. В группе 20 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наугад отобраны 10 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажутся 6 отличников.

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторикой и формулой для вычисления вероятности.

У нас есть 20 студентов, из которых 8 — отличники и 12 — не отличники. Мы хотим найти вероятность того, что среди 10 случайно отобранных студентов будет ровно 6 отличников.

Сначала определим, сколько способов выбрать 6 отличников из 8 и 4 не отличников из 12. Мы используем комбинации для этих расчетов.

1. Количество способов выбрать 6 отличников из 8: \[ C(8, 6) = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6! \cdot 2!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \]

2. Количество способов выбрать 4 не отличников из 12: \[ C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495 \]

Теперь мы можем найти общее количество способов выбрать 10 студентов из 20: \[ C(20, 10) = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10! \cdot 10!} = 184756 \]

Теперь можно вычислить количество благоприятных исходов, когда среди выбранных студентов есть 6 отличников и 4 не отличника: \[ \text{Благоприятные исходы} = C(8, 6) \cdot C(12, 4) = 28 \cdot 495 = 13860 \]

Теперь вычислим вероятность того, что среди отобранных студентов окажется 6 отличников: \[ P(\text{6 отличников}) = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{13860}{184756} \]

Для упрощения: \[ P(\text{6 отличников}) \approx 0.0748 \]

Следовательно, вероятность того, что среди 10 случайно выбранных студентов окажутся 6 отличников, примерно равна 0.0748 или 7.48%.