Вероятность отказа прибора при испытании постоянна и равна 0,2. Какова вероятность, что в четырех испытаниях прибор откажет не более двух раз?

Давайте рассчитаем вероятность того, что прибор откажет не более двух раз в четырех испытаниях, если вероятность отказа составляет 0,2.

Это можно решить с помощью биномиального распределения. Формула для биномиального распределения выглядит так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( P(X = k) \) – вероятность того, что прибор откажет в \( k \) испытаниях;
• \( n \) – общее количество испытаний (в нашем случае 4);
• \( k \) – количество отказов (0, 1 или 2);
• \( p \) – вероятность отказа (0,2);
• \( C(n, k) \) – биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n - k)!} \).

Теперь посчитаем вероятность для \( k = 0 \), \( k = 1 \) и \( k = 2 \), а затем сложим полученные вероятности.

1. Вероятность \( P(X = 0) \): \[ P(X = 0) = C(4, 0) \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.4096 = 0.4096 \]

2. Вероятность \( P(X = 1) \): \[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^3 = 4 \cdot 0.2 \cdot 0.512 = 4 \cdot 0.1024 = 0.4096 \]

3. Вероятность \( P(X = 2) \): \[ P(X = 2) = C(4, 2) \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^2 = 6 \cdot 0.04 \cdot 0.64 = 6 \cdot 0.0256 = 0.1536 \]

Теперь складываем все эти вероятности:

\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.4096 + 0.4096 + 0.1536 = 0.9728 \]

Таким образом, вероятность, что в четырёх испытаниях прибор откажет не более двух раз, равна 0,9728 или 97,28%.