Найти производную функции: 1) x ^ 2 + 1/(x ^ 3) 2) x ^ 3 + 1/(x ^ 2) 3) root(x, 4) - sqrt(x) 4) 3 * root(x, 6) + 7 * root(x, 14)

Давайте по порядку найдем производные указанных функций.

1. Для функции \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x^3} \):

   • Первая часть: производная \( (x^2) \) равна \( 2x \).
   • Вторая часть: производная \( \left( \frac{1}{x^3} \right) \) можно выразить как \( x^{-3} \), и ее производная равна \( -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} \).
   • Таким образом, производная всей функции: \[ f'(x) = 2x - \frac{3}{x^4}. \]

2. Для функции \( g(x) = x^3 + \frac{1}{x^2} \):

   • Первая часть: производная \( (x^3) \) равна \( 3x^2 \).
   • Вторая часть: производная \( \left( \frac{1}{x^2} \right) \) можно выразить как \( x^{-2} \), и ее производная равна \( -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \).
   • Таким образом, производная всей функции: \[ g'(x) = 3x^2 - \frac{2}{x^3}. \]

3. Для функции \( h(x) = \sqrt[4]{x} - \sqrt{x} \):

   • Первая часть: можно выразить как \( x^{1/4} \), производная будет \( \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} \).
   • Вторая часть: \( \sqrt{x} = x^{1/2} \), ее производная равна \( \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
   • Таким образом, производная всей функции: \[ h'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}. \]

4. Для функции \( k(x) = 3 \sqrt[6]{x} + 7 \sqrt[14]{x} \):

   • Первая часть: \( 3\sqrt[6]{x} = 3x^{1/6} \), производная будет \( \frac{3}{6}x^{-5/6} = \frac{1}{2}x^{-5/6} \).
   • Вторая часть: \( 7 \sqrt[14]{x} = 7x^{1/14} \), производная будет \( \frac{7}{14}x^{-13/14} = \frac{1}{2}x^{-13/14} \).
   • Таким образом, производная всей функции: \[ k'(x) = \frac{1}{2}x^{-5/6} + \frac{1}{2}x^{-13/14}. \]

Вот и все производные! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разобрать что-то подробнее, пожалуйста, дайте знать!