Реши

Конечно, давай разберемся с заданиями!

1. Решите систему уравнений:

a)
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 8, \\ 5y - 3x = 6. \end{cases} \]

Сначала выразим \(y\) из первого уравнения:

\[ y = \frac{8 - 3x}{2} \]

Подставим выражение для \(y\) во второе уравнение:

\[ 5\left(\frac{8 - 3x}{2}\right) - 3x = 6 \]

Упростим:

\[ \frac{40 - 15x}{2} - 3x = 6 \\ 40 - 15x - 6x = 12 \\ 40 - 21x = 12 \\ -21x = 12 - 40 \\ -21x = -28 \\ x = \frac{28}{21} = \frac{4}{3} \]

Теперь подставим \(x = \frac{4}{3}\) в выражение для \(y\):

\[ y = \frac{8 - 3 \cdot \frac{4}{3}}{2} \\ y = \frac{8 - 4}{2} \\ y = 2 \]

Решение: \(x = \frac{4}{3}, \, y = 2\).

b)
\[ \begin{cases} 3x - y = 6, \\ 4x^2 - y = 1. \end{cases} \]

Выразим \(y\) из первого уравнения:

\[ y = 3x - 6 \]

Подставим \(y\) во второе уравнение:

\[ 4x^2 - (3x - 6) = 1 \\ 4x^2 - 3x + 6 = 1 \\ 4x^2 - 3x + 5 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 9 - 80 = -71 \]

Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных решений.

2. Стороны прямоугольника:

\[ a^2 + b^2 = 45 \]

\[ 2a + 2b = 18 \implies a + b = 9 \]

Выразим \(b\) через \(a\):

\[ b = 9 - a \]

Подставим в уравнение для площади:

\[ a^2 + (9-a)^2 = 45 \\ a^2 + 81 - 18a + a^2 = 45 \\ 2a^2 - 18a + 81 = 45 \\ 2a^2 - 18a + 36 = 0 \\ a^2 - 9a + 18 = 0 \]

Находим корни квадратного уравнения:

\[ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \]

\[ a_{1,2} = \frac{9 \pm 3}{2} \\ a_1 = 6, \, a_2 = 3 \]

Если \(a = 6\), то \(b = 9 - 6 = 3\). Если \(a = 3\), то \(b = 9 - 3 = 6\).

Решение: стороны \(3\) см и \(6\) см.