Дана прямая 3х + 4y - 12 =0. Определите: a) взаимное расположение прямой и двух точек M(2;1,5)и N(-1;8); b) расстояние между точками пересечения пр ямой с осями координат.
Чтобы определить взаимное расположение прямой и точек, сначала нужно понять, пересекает ли прямая заданные точки.
Взаимное расположение прямой и точек M(2;1,5) и N(-1;8)
У нас есть уравнение прямой: \(3x + 4y - 12 = 0\).
Подставим координаты точки M(2;1,5) в уравнение прямой: \[ 3(2) + 4(1.5) - 12 = 6 + 6 - 12 = 0. \] Это равенство равно нулю, следовательно, точка M лежит на прямой.
Теперь подставим координаты точки N(-1;8): \[ 3(-1) + 4(8) - 12 = -3 + 32 - 12 = 17. \] Это не равно нулю, значит, точка N не лежит на прямой.
Таким образом, точка M лежит на прямой, а точка N — нет.
Расстояние между точками пересечения прямой с осями координат
Чтобы найти точки пересечения прямой с осями координат, найдем отрезки пересечения с осью X и осью Y.
Пересечение с осью X: Для нахождения этой точки, нужно подставить \(y = 0\): \[ 3x + 4(0) - 12 = 0 \implies 3x - 12 = 0 \implies 3x = 12 \implies x = 4. \] Точка пересечения с осью X: \(A(4; 0)\).
Пересечение с осью Y: Для нахождения этой точки, нужно подставить \(x = 0\): \[ 3(0) + 4y - 12 = 0 \implies 4y - 12 = 0 \implies 4y = 12 \implies y = 3. \] Точка пересечения с осью Y: \(B(0; 3)\).
Теперь найдем расстояние между точками A(4;0) и B(0;3): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(0 - 4)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5. \]
Итак, расстояние между точками пересечения прямой с осями координат равно 5 единиц.
