Реши задачу FA и FB — наклонные к плоскости α из точки F, F⊂ / α. FA=10, FB=4 корень из 13. Проекция FA на плоскость α в 2 раза меньше, чем проекция FB. Найди ρ(F; α). Ответ:
Для решения задачи нам нужно найти высоту точки \( F \) над плоскостью \( α \) (обозначим её \( ρ(F; α) \)), используя данные о наклонных отрезках \( FA \) и \( FB \) и их проекциях на плоскость.
Дано:
- \( FA = 10 \)
- \( FB = 4 \sqrt{13} \)
- Проекция \( FA \) на плоскость \( α \) в 2 раза меньше, чем проекция \( FB \).
Обозначим проекции \( FA \) и \( FB \) на плоскость \( α \) как \( P_{FA} \) и \( P_{FB} \) соответственно. Согласно условию, у нас есть следующая связь:
\[ P_{FA} = \frac{1}{2} P_{FB}. \]
Согласно теореме Пифагора для наклонной линии и её проекции на плоскость, проекция может быть найдена так:
\[ P_{FA}^2 + ρ(F; α)^2 = FA^2, \] \[ P_{FB}^2 + ρ(F; α)^2 = FB^2. \]
Теперь подставим данные:
Для \( FA \): \[ P_{FA}^2 + ρ^2 = 10^2 = 100. \]
Для \( FB \): \[ P_{FB}^2 + ρ^2 = (4\sqrt{13})^2 = 16 \cdot 13 = 208. \]
Так как \( P_{FA} = \frac{1}{2} P_{FB} \), давайте обозначим \( P_{FB} = x \). Тогда \( P_{FA} = \frac{1}{2}x \).
Подставим это в первое уравнение:
\[ \left(\frac{1}{2}x\right)^2 + ρ^2 = 100, \] \[ \frac{1}{4}x^2 + ρ^2 = 100. \quad (1) \]
Теперь второе уравнение:
\[ x^2 + ρ^2 = 208. \quad (2) \]
Теперь нам нужно решить систему уравнений (1) и (2). Из уравнения (1) выразим \( ρ^2 \):
\[ ρ^2 = 100 - \frac{1}{4}x^2. \]
Подставляем это выражение во второе уравнение:
\[ x^2 + (100 - \frac{1}{4}x^2) = 208, \] \[ x^2 - \frac{1}{4}x^2 = 208 - 100, \] \[ \frac{3}{4}x^2 = 108, \] \[ x^2 = 108 \cdot \frac{4}{3} = 144, \] \[ x = 12. \]
Теперь, подставив значение \( x \) обратно в уравнение (1) для нахождения \( ρ^2 \):
\[ ρ^2 = 100 - \frac{1}{4}(12^2), \] \[ ρ^2 = 100 - \frac{1}{4} \cdot 144 = 100 - 36 = 64, \] \[ ρ = 8. \]
Таким образом, высота точки \( F \) над плоскостью \( α \) равна:
\[ ρ(F; α) = 8. \]
