Найди вероятность, что Костя, стреляя из арбалета, попадёт в мишень на четвертом выстреле из десяти попыток, если вероятность попадания при одном выстреле 4 равна 10
Для решения задачи о вероятности попадания Кости в мишень на четвертом выстреле из десяти, когда вероятность попадания при одном выстреле равна 0.4, можно использовать распределение Бернулли.
Обозначим:
- p = 0.4 (вероятность попадания),
- q = 1 - p = 0.6 (вероятность промаха),
- n = 10 (общее количество выстрелов),
- k = 4 (номер выстрела, на котором должно быть попадание).
В данной задаче нам нужно, чтобы на первом, втором и третьем выстрелах Костя промахнулся, а на четвертом — попал. Также нужно, чтобы на оставшихся шести выстрелах (пятый по десятый) он мог как попасть, так и промахнуться (то есть мы не ограничиваемся здесь количеством попаданий).
Вероятность такого исхода можно вычислить следующим образом:
Вероятность того, что Костя промахнется в первых трех выстрелах и попадет в четвертом: \[ P(\text{промах в 1, 2, 3} и \text{попадание в 4}) = q^3 \cdot p = 0.6^3 \cdot 0.4 \]
Вероятность того, что на последних шести выстрелах будет любое количество попаданий (эти выстрелы не влияют на намеченный результат): \[ P(\text{любое количество попаданий в 5-10}) = (p + q)^6 = (0.4 + 0.6)^6 = 1^6 = 1 \]
Для учета всех возможных исходов (всех комбинаций попаданий и промахов на последних шести выстрелах), мы добавляем количество способов, которыми это может произойти. На последних шести выстрелах может быть разное количество попаданий, поэтому мы используем биномиальное распределение.
Общая вероятность: \[ P = q^3 \cdot p \cdot \text{Сумма всех возможных исходов на 6 выстрелах} = 0.6^3 \cdot 0.4 \cdot (p + q)^6 = 0.6^3 \cdot 0.4 \]
Теперь подставим значения: \[ P = 0.216 \cdot 0.4 = 0.0864 \]
Таким образом, вероятность того, что Костя попадет в мишень именно на четвертом выстреле, составляет 0.0864 или 8.64%.
