1. При пересечении двух хорд одна из них делится на отрезки 2,5 см и 2 см, а вторая - на отрезки, один из которых меньше другого на 4 см. Найдите длину второй хорды.
При пересечении двух хорд в круге выполняется закон, согласно которому произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Давайте обозначим отрезки первой хорды как \(a = 2,5 \, \text{см}\) и \(b = 2 \, \text{см}\). Таким образом, мы можем вычислить произведение отрезков первой хорды:
\[ a \cdot b = 2,5 \cdot 2 = 5 \, \text{см}^2. \]
Теперь перейдем ко второй хордe. Обозначим длины отрезков второй хорды как \(x\) и \(y\), при этом известно, что один отрезок меньше другого на 4 см, что можно записать как:
\[ y = x - 4. \]
Теперь подставим \(y\) в формулу для произведения отрезков второй хорды, которая также равна 5 см²:
\[ x \cdot y = 5, \] \[ x \cdot (x - 4) = 5. \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 - 4x - 5 = 0. \]
Теперь нужно решить это квадратное уравнение. Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36. \]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два решения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 6}{2}. \]
Находим два значения для \(x\):
- \(x_1 = \frac{10}{2} = 5\),
- \(x_2 = \frac{-2}{2} = -1\) (отрицательное значение не может быть длиной отрезка).
Итак, \(x = 5\) см. Теперь подставим это значение, чтобы найти \(y\):
\[ y = 5 - 4 = 1 \, \text{см}. \]
Теперь можем найти длину второй хорды, которая равна сумме её отрезков:
\[ x + y = 5 + 1 = 6 \, \text{см}. \]
Таким образом, длина второй хорды составляет 6 см.
