Один из углов прямоугольного треугольника равен 600, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 51 см. Найти длину гипотенузы.

Чтобы найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника, где один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы (обозначим ее \( c \)) и меньшего катета (обозначим его \( a \)) равна 51 см, можно воспользоваться тригонометрией и свойствами прямоугольного треугольника.

1. В прямоугольном треугольнике с углом 60° у нас есть следующие соотношения:

   • Косинус 60° равен \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \).
   • Синус 60° равен \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

2. Если обозначить больший катет как \( b \), то, согласно определению тригонометрических функций, мы можем выразить катеты через гипотенузу \( c \):

   • \( a = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2} \)
   • \( b = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

3. У нас есть уравнение, что сумма гипотенузы \( c \) и меньшего катета \( a \) равна 51 см: \[ c + a = 51 \text{ см} \] Подставляя \( a \): \[ c + \frac{c}{2} = 51 \]

4. Приведем подобные: \[ \frac{3c}{2} = 51 \]

5. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 3c = 102 \]

6. Разделим обе стороны на 3: \[ c = 34 \text{ см} \]

Таким образом, длина гипотенузы \( c \) равна 34 см.