Два игрока, Федя и Стёпа, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Федя. За один ход игрок может: а) добавить в любую кучу один камень; б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 83, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 5 камней, а во второй - § камней, 1 ≤ S ≤ 77 . Известно, что Стёпа выиграл своим первым ходом после первого хода Феди. Найдите минимальное значение S , при котором это возможно.

Для решения задачи будем рассматривать ход Феди и как он влияет на игру. Начнем с актуальных данных:

• В первой куче \( a = 5 \) камней.
• Во второй куче \( b = S \) камней, где \( 1 \leq S \leq 77 \).

Игра ведется так, что после текущего хода сумма камней в обеих кучах должна быть менее 83, для того чтобы игра продолжалась.

Ход Феди

Федя может:

1. Добавить один камень в любую из куч.
2. Увеличить количество камней в любой куче в 4 раза.

Заметим, что максимальное количество камней после одного хода Феди можно рассчитать, чтобы проверить, в каких случаях Стёпа может выиграть.

Поскольку Стёпа выигрывает после первого хода Феди, нужно оценить возможные исходы:

1. Федя добавляет один камень:

   • Если Федя добавляет камень в первую кучу, то: \[ a + 1 = 6, \quad \text{вторая куча остаётся } b = S \] Сумма = \( 6 + S < 83 \implies S < 77 \)

   • Если Федя добавляет камень во вторую кучу, то: \[ a = 5, \quad b + 1 = S + 1 \] Сумма = \( 5 + (S + 1) = 6 + S < 83 \implies S < 77 \)

2. Федя увеличивает одну кучу в 4 раза:

   • Если Федя увеличивает первую кучу: \[ a \cdot 4 = 20, \quad b = S \] Сумма = \( 20 + S < 83 \implies S < 63 \)

   • Если Федя увеличивает вторую кучу: \[ a = 5, \quad b \cdot 4 = 4S \] Сумма = \( 5 + 4S < 83 \implies 4S < 78 \implies S < 19.5 \)

Определим минимальное значение \( S \) для победы Стёпы.

После каждого из ходов Феди, Стёпа может сделать ход:

1. Добавить один камень в любую кучу – что увеличивает сумму камней на 1.
2. Увеличить любую кучу в 4 раза.

Возможные ходы Стёпы:

1. Если Федя добавил камень:

   • Степа добивает нужный результат либо добавляя камень, либо увеличивая одну из куч.

2. Если Федя увеличил кучу в 4 раза:

   • Условие, где \( S \) должно быть минимальным для победы Стёпы в его первом ходе:

Исходя из возможности выиграть, Стёпа сможет выиграть, если:

• \( S \) достаточно мал для того, чтобы после преобразований Феди, была возможность получить 83.

В данном случае, попробуем рассмотреть \( S = 17 \):

• Федя увеличил вторую кучу в 4 раза, получаем \( 5 + 68 = 73 \)
• Теперь Стёпа просто добавляет 10 в первую кучу, что даст 83.

Проверим на других значениях, но минимально возможно:

• Если \( S = 17 \), это работает. Минимальные значения до этого при увеличении в 4 раза не позволят Стёпе одержать победу.

Ответ: минимальное значение \( S = 17 \) для выигрыша Стёпы.