совокупность неравенств 3х-2х²+2≥0 и -3х-6<0
Чтобы решить совокупность неравенств \( 3x - 2x^2 + 2 \geq 0 \) и \( -3x - 6 < 0 \), начнем по порядку.
Решение первого неравенства \( 3x - 2x^2 + 2 \geq 0 \):
Приведем его к стандартному виду: \[ -2x^2 + 3x + 2 \geq 0 \] Умножим обе стороны на -1 (не забываем поменять знак неравенства): \[ 2x^2 - 3x - 2 \leq 0 \]
Теперь можем решить квадратное уравнение, находя корни: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \]
Корни: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{4} = 2 \]
Теперь у нас есть корни \( x_1 = -\frac{1}{2} \) и \( x_2 = 2 \). Рисуем промежутки на числовой оси: \((-\infty, -\frac{1}{2})\), \((- \frac{1}{2}, 2)\), \((2, +\infty)\).
Проверим знак на каждом промежутке:
- Для \( x = -1\) (из промежутка \((-\infty, -\frac{1}{2})\)): \[ 2(-1)^2 - 3(-1) - 2 = 2 + 3 - 2 = 3 > 0 \]
- Для \( x = 0\) (из промежутка \((- \frac{1}{2}, 2)\)): \[ 2(0)^2 - 3(0) - 2 = -2 < 0 \]
- Для \( x = 3\) (из промежутка \((2, +\infty)\)): \[ 2(3)^2 - 3(3) - 2 = 18 - 9 - 2 = 7 > 0 \]
Значит, неравенство \( 2x^2 - 3x - 2 \leq 0 \) выполняется на промежутке: \[ x \in [-\frac{1}{2}, 2] \]
Решение второго неравенства \( -3x - 6 < 0 \):
Упростим его: \[ -3x < 6 \implies x > -2 \]
Теперь у нас есть два условия:
- \( x \in [-\frac{1}{2}, 2] \)
- \( x > -2 \)
Поскольку оба условия должны выполняться одновременно, нам нужно взять пересечение этих двух множеств.
Пересечение: \[ x \in [-\frac{1}{2}, 2] \]
Таким образом, ответ на совокупность неравенств: \[ x \in [-\frac{1}{2}, 2] \]
Если возникнут дополнительные вопросы или потребуется помощь в других задачах, не стесняйтесь обращаться!
