Два игрока, Федя и Стёпа, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Федя. За один ход игрок может: а) добавить в любую кучу один камень; б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 83, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 5 камней, а во второй - S камней, 1 ≤ S ≤ 77 . Известно, что Стёпа выиграл своим первым ходом после первого хода Феди. Найдите минимальное значение S , при котором это возможно.

Игра между Федей и Степой начинается с того, что в первой куче 5 камней, а во второй - S камней, где \( 1 \leq S \leq 77 \).

Сначала определим, каким образом Федя может сделать свой ход. Он может:

1. Добавить 1 камень в любую из куч:

   • В первую кучю: \( 5 + 1 = 6 \), тогда суммарное количество камней: \( 6 + S \).
   • Во вторую кучю: \( S + 1 \), тогда суммарное количество камней: \( 5 + (S + 1) = S + 6 \).

2. Увеличить количество камней в любой куче в 4 раза:

   • В первую кучю: \( 5 \to 20 \), тогда суммарное количество камней: \( 20 + S \).
   • Во вторую кучю: \( S \to 4S \), тогда суммарное количество камней: \( 5 + 4S \).

Степа должен сделать такой ход, чтобы после его действия суммарное количество камней стало не менее 83.

Рассмотрим возможные сценарии после каждого из ходов Феди.

1. Если Федя добавляет в первую кучю 1 камень (итого 6):

   • Сумма: \( 6 + S \)
   • Степа может добавить 1 камень в первую кучю: сумма станет \( 7 + S \) (победа невозможна, т.к. максимальность S = 77, сумма будет меньше 83).
   • Степа может добавить 1 камень во вторую кучю: сумма станет \( 6 + (S + 1) = 7 + S \) (победа невозможна).
   • Степа может увеличить первую кучу в 4 раза: сумма станет \( 20 + S \) (победа невозможна).
   • Степа может увеличить вторую кучу в 4 раза: сумма станет \( 6 + 4S \). Чтобы Степа выиграл, должно выполняться условие: \[ 6 + 4S \geq 83 \implies 4S \geq 77 \implies S \geq 19.25 \] Таким образом, минимум \( S = 20 \).

2. Если Федя добавляет в вторую кучю 1 камень (итого 6):

   • Сумма: \( 5 + (S + 1) = S + 6 \)
   • Аналогично, максимальная сумма \( S = 77 \) приведет к \( S + 6 < 83 \) (победа невозможна).

3. Если Федя увеличивает первую кучу в 4 раза (итого 20):

   • Сумма: \( 20 + S \)
   • Степа может добавить 1 в первую или во вторую кучи (все комбинации приведут к меньше 83).
   • Степа увеличивает вторую кучу в 4 раза, получаем: \[ 20 + 4S \geq 83 \implies 4S \geq 63 \implies S \geq 15.75 \implies S = 16. \]

4. Если Федя увеличивает вторую кучу в 4 раза:

   • Сумма: \( 5 + 4S \)
   • Чтобы Степа победил: \[ 5 + 4S \geq 83 \implies 4S \geq 78 \implies S \geq 19.5. \] Минимум \( S = 20 \).

Таким образом, учитывая все варианты, минимальное значение \( S \), при котором Степа может выиграть своим первым ходом, составляет \( 20 \).