В окружности с радиусом 7,5 см проведены диаметр АС и хорда АК, равна 9 см. найдите длину хорды СК
Чтобы найти длину хорды СК, воспользуемся теорией о свойствах окружности и прямоугольных треугольниках.
Запишем известные значения:
- Радиус окружности \( r = 7,5 \, \text{см} \)
- Длина хорды АК \( AK = 9 \, \text{см} \)
Из центра окружности (назовем его O) проведем перпендикуляр к хордe АК, который поделит ее пополам. То есть, точка M (середина АК) имеет координаты: \[ AM = MK = \frac{AK}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 \, \text{см} \]
Применим теорему Пифагора в треугольнике OAM:
- Сторона OM (перпендикуляр из центра до хорды) можно выразить через радиус: \[ OA^2 = OM^2 + AM^2 \] Подставим известные значения: \[ (7,5)^2 = OM^2 + (4,5)^2 \] \[ 56,25 = OM^2 + 20,25 \] \[ OM^2 = 56,25 - 20,25 = 36 \] \[ OM = \sqrt{36} = 6 \, \text{см} \]
Теперь найдем длину отрезка OC, используя радиус и найденный OM: \[ OC = \sqrt{r^2 - OM^2} = \sqrt{(7,5)^2 - 6^2} = \sqrt{56,25 - 36} = \sqrt{20,25} = 4,5 \, \text{см} \]
Теперь, согласно свойствам хорды и диаметр, можем найти длину хорды СК, которая равна: \[ SK = AC - AK = 7,5 - OM - OC = 7,5 - 6 - 4,5 = 3 \, \text{см} \]
Итак, длина хорды СК составляет 3 см.
