По геометрической прогрессии (bn) найдите b1, Sn, если: q=0,5, n=6, bn=3
Для того чтобы решить задачу по геометрической прогрессии, давайте вспомним основные формулы, которые нам понадобятся.
Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] где \( b_n \) — \( n \)-й член прогрессии, \( b_1 \) — первый член, \( q \) — отношение прогрессии (знак черты), \( n \) — номер члена.
Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \[ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1) \]
В нашей задаче даны следующие параметры:
- \( q = 0.5 \)
- \( n = 6 \)
- \( b_n = 3 \)
Сначала найдем \( b_1 \). Подставляем известные значения в формулу для \( b_n \):
\[ b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 \]
Заменим \( q \) и \( b_n \):
\[ 3 = b_1 \cdot (0.5)^5 \]
Теперь найдем \( (0.5)^5 \):
\[ (0.5)^5 = \frac{1}{32} \]
Теперь подставим это значение в уравнение:
\[ 3 = b_1 \cdot \frac{1}{32} \]
Чтобы найти \( b_1 \), умножим обе части уравнения на 32:
\[ b_1 = 3 \cdot 32 = 96 \]
Таким образом, мы нашли первый член: \( b_1 = 96 \).
Теперь найдем сумму первых 6 членов \( S_6 \):
\[ S_6 = b_1 \cdot \frac{1 - q^6}{1 - q} \]
Подставим \( b_1 \) и \( q \):
\[ S_6 = 96 \cdot \frac{1 - (0.5)^6}{1 - 0.5} \]
Сначала найдем \( (0.5)^6 \):
\[ (0.5)^6 = \frac{1}{64} \]
Теперь подставим это значение:
\[ S_6 = 96 \cdot \frac{1 - \frac{1}{64}}{0.5} \]
Теперь вычислим \( 1 - \frac{1}{64} \):
\[ 1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64} \]
Теперь подставим это в уравнение для \( S_6 \):
\[ S_6 = 96 \cdot \frac{\frac{63}{64}}{0.5} = 96 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = 96 \cdot \frac{126}{64} = 96 \cdot \frac{63}{32} \]
Теперь можем упростить:
\[ S_6 = \frac{96 \cdot 63}{32} = 3 \cdot 63 = 189 \]
Таким образом, сумма первых 6 членов геометрической прогрессии составляет \( S_6 = 189 \).
Резюме:
- \( b_1 = 96 \)
- \( S_6 = 189 \)
Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
