На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K K , L L , M M , N N — середины его сторон. Найди вероятность, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет…

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника ABCD принадлежит четырёхугольнику AMCK, нужно рассчитать площади обоих фигур.

1. Вычисление площади четырёхугольника ABCD: Пусть длина стороны AB равна \(a\), а длина стороны AD равна \(b\). Тогда площадь прямоугольника ABCD будет равна: \[ S_{ABCD} = a \times b. \]

2. Определение координат точек K, M, A и C: Точки K и M — середины сторон AB и CD соответственно, а A и C — это углы прямоугольника. Если обозначить координаты:

   • \(A(0, 0)\)
   • \(B(a, 0)\)
   • \(C(a, b)\)
   • \(D(0, b)\)
   • \(K\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)
   • \(M\left(\frac{a}{2}, b\right)\)

3. Выделение фигуры AMCK: Четырёхугольник AMCK состоит из точек A, M, C и K. Площадь четырёхугольника можно вычислить, используя формулу для площади многоугольника, основываясь на координатах его вершин. Формула выглядит следующим образом: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|, \] где \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), \( (x_3, y_3) \), \( (x_4, y_4) \) — это координаты точек A, M, C и K соответственно.

4. Площадь четырёхугольника AMCK: Подставим координаты точек:

   • A(0, 0)
   • M\(\left(\frac{a}{2}, b\right)\)
   • C(a, b)
   • K\(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)

   Тогда площадь AMCK будет равна: \[ S_{AMCK} = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot b + \frac{a}{2} \cdot b + a \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot 0 - (0 \cdot \frac{a}{2} + b \cdot a + b \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot 0) \right| \]

   После расчетов, результат получается равным \(\frac{ab}{4}\).

5. Вероятность выбора точки в AMCK: Теперь, чтобы найти вероятность, делим площадь четырёхугольника AMCK на площадь прямоугольника ABCD: \[ P(AMCK) = \frac{S_{AMCK}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4}. \]

Таким образом, искомая вероятность \(P(AMCK) = \frac{1}{4}\).

Ответ: \(\frac{1}{4}\).