На рисунке изображён прямоугольник  A B C D ABCD. Точки  K K,  L L,  M M,  N N — середины его сторон. Найди вероятность, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырёхугольнику  A M C K AMCK. 5069_VER_9_10_510x510.svg Запиши в поле ответа верное число.  P ( A M C K ) = P(AMCK)

Для решения задачи необходимо сначала рассмотреть, как расположены точки и фигуры на прямоугольнике ABCD.

1. Этап 1: Понимание фигуры Прямоугольник ABCD имеет точки K и M, которые являются серединами сторон AB и CD соответственно. Таким образом, K и M делят каждую из этих сторон на две равные части.

2. Этап 2: Определение координат Предположим, что прямоугольник ABCD имеет следующие координаты:

   • A(0, 0)
   • B(a, 0)
   • C(a, b)
   • D(0, b)

   Тогда середины отрезков будут:

   • K = (a/2, 0) (середина AB)
   • L = (a, b/2) (середина BC)
   • M = (a/2, b) (середина CD)
   • N = (0, b/2) (середина AD)

3. Этап 3: Площадь четырехугольника AMCK Чтобы найти площадь четырехугольника AMCK, воспользуемся формулой для площади многоугольника, которая определяется по координатам вершин. Координаты вершин A, M, C и K:

   • A(0, 0)
   • M(a/2, b)
   • C(a, b)
   • K(a/2, 0)

   Площадь можно найти по формуле:

   \[ S = \frac{1}{2} | x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) | \]

   Подставим координаты: \[ S = \frac{1}{2} | 0 \cdot b + \frac{a}{2} \cdot b + a \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot 0 - (0 \cdot \frac{a}{2} + b \cdot a + b \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot 0) | \]

   Этот расчет упрощается до: \[ S = \frac{1}{2} | \frac{ab}{2} - (ab + \frac{ab}{2}) | \]

   В результате получаем площадь четырехугольника \( AMCK \).

4. Этап 4: Общая площадь прямоугольника Площадь прямоугольника ABCD равна \( S_{ABCD} = ab \).

5. Этап 5: Вероятность Вероятность принадлежности случайно выбранной точки области AMCK будет равна: \[ P(AMCK) = \frac{S_{AMCK}}{S_{ABCD}} = \frac{S_{AMCK}}{ab} \]

Теперь, подставив все необходимые значения, вы можете вычислить окончательную вероятность \( P(AMCK) \). Так как окончательные координаты не были указаны, формула останется в таком виде, позволяя вам подставить конкретные размеры прямоугольника, чтобы получить численное значение.