X+√x-6=0

Для решения уравнения \(x + \sqrt{x} - 6 = 0\) давайте сначала изолируем радикал.

1. Переносим \(\sqrt{x}\) на правую сторону уравнения: \[ \sqrt{x} = 6 - x \]

2. Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: \[ x = (6 - x)^2 \]

3. Раскроем скобки: \[ x = 36 - 12x + x^2 \]

4. Приведем все члены уравнения к одной стороне: \[ x^2 - 13x + 36 = 0 \]

5. Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Вычислим дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \]

6. Поскольку дискриминант положителен, у уравнения два корня. Находим корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 5}{2} \] \[ x_1 = \frac{18}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4 \]

7. У нас есть два кандидата: \(x = 9\) и \(x = 4\). Однако, нам нужно проверить, являются ли они допустимыми решениями, подставив их обратно в оригинальное уравнение.

Для \(x = 9\): \[ 9 + \sqrt{9} - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 \quad (\text{не } 0) \]

Для \(x = 4\): \[ 4 + \sqrt{4} - 6 = 4 + 2 - 6 = 0 \quad (\text{верно}) \]

Таким образом, единственное решение уравнения \(x + \sqrt{x} - 6 = 0\) — это \(x = 4\).