Решите уравнение 4 sin^2 x - 12 sinx + 5 - 0 б) Укажите корни, принадлежащие отрезку (-п, 2п].
Для решения уравнения \(4 \sin^2 x - 12 \sin x + 5 = 0\) начнём с того, что рассмотрим его как квадратное уравнение относительно \(y = \sin x\):
\[ 4y^2 - 12y + 5 = 0 \]
Теперь применим формулу решения квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 5\).
- Вычислим дискриминант:
\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64 \]
- Находится корни уравнения:
\[ y_1 = \frac{12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{12 + 8}{8} = \frac{20}{8} = 2.5 \]
\[ y_2 = \frac{12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{12 - 8}{8} = \frac{4}{8} = 0.5 \]
Теперь у нас есть корни \(y_1 = 2.5\) и \(y_2 = 0.5\).
Поскольку \(\sin x\) может принимать значения только в диапазоне \([-1, 1]\), \(y_1 = 2.5\) не подходит, а \(y_2 = 0.5\) подходит.
Теперь найдем \(x\), для которого \(\sin x = 0.5\). Решения этого уравнения можно найти с помощью основной тригонометрической функции:
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]
где \(k\) — целое число.
Теперь нам нужно указать корни, принадлежащие отрезку \((-π, 2π]\).
Для \(k = 0\): \[ x_1 = \frac{\pi}{6} \approx 0.52 \quad (\text{принадлежит отрезку} \, (-\pi, 2\pi]) \] \[ x_2 = \frac{5\pi}{6} \approx 2.62 \quad (\text{принадлежит отрезку} \, (-\pi, 2\pi]) \]
Для \(k = 1\): \[ x_3 = \frac{\pi}{6} + 2\pi \approx 6.80 \quad (\text{не принадлежит отрезку} \, (-\pi, 2\pi]) \] \[ x_4 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \approx 8.73 \quad (\text{не принадлежит отрезку} \, (-\pi, 2\pi]) \]
Для \(k = -1\): \[ x_5 = \frac{\pi}{6} - 2\pi \approx -5.76 \quad (\text{не принадлежит отрезку} \, (-\pi, 2\pi]) \] \[ x_6 = \frac{5\pi}{6} - 2\pi \approx -3.67 \quad (\text{не принадлежит отрезку} \, (-\pi, 2\pi]) \]
Таким образом, корни, принадлежащие отрезку \((-π, 2π]\), это:
\[ x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{6} \]
Ответ: \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\)
