№ 13 Материалы принадлежат fipi.ru. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону n=m0⋅2−tT , где m0 − начальная масса изотопа, t− время, прошедшее от…
№ 13 Материалы принадлежат fipi.ru. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону n=m0⋅2−tT , где m0 − начальная масса изотопа, t− время, прошедшее от начального момента, T− период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 128 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 8 мг.
Чтобы решить эту задачу, воспользуемся формулой распада радиоактивного изотопа:
\[ n = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} \]
Здесь:
- \( n \) — масса изотопа в момент времени \( t \),
- \( m_0 \) — начальная масса изотопа,
- \( t \) — время, прошедшее от начального момента,
- \( T \) — период полураспада.
Дана начальная масса \( m_0 = 128 \) мг, период полураспада \( T = 3 \) мин и конечная масса \( n = 8 \) мг.
Подставим известные значения в формулу и найдем \( t \):
\[ 8 = 128 \cdot 2^{-\frac{t}{3}} \]
Теперь разделим обе стороны уравнения на 128:
\[ \frac{8}{128} = 2^{-\frac{t}{3}} \]
С сократим дробь:
\[ \frac{1}{16} = 2^{-\frac{t}{3}} \]
Заметим, что \( \frac{1}{16} = 2^{-4} \). Таким образом, у нас получается:
\[ 2^{-4} = 2^{-\frac{t}{3}} \]
Поскольку основания равны, можем приравнять показатели степени:
\[ -4 = -\frac{t}{3} \]
Умножим обе стороны уравнения на -1 и затем на 3:
\[ 4 = \frac{t}{3} \]
\[ t = 12 \]
Таким образом, масса изотопа будет равна 8 мг через 12 минут.
