В кубе 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром 5 5 найди расстояние между прямыми AA 1 и 𝐵 𝐶 BC .
Чтобы найти расстояние между прямыми \( AA_1 \) и \( BC \) в кубе с длиной ребра \( 5 \), сначала представим координаты вершин куба:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(5, 0, 0) \)
- \( C(5, 5, 0) \)
- \( D(0, 5, 0) \)
- \( A_1(0, 0, 5) \)
- \( B_1(5, 0, 5) \)
- \( C_1(5, 5, 5) \)
- \( D_1(0, 5, 5) \)
Теперь определим уравнения прямых \( AA_1 \) и \( BC \):
Прямая \( AA_1 \) проходит через точки \( A(0, 0, 0) \) и \( A_1(0, 0, 5) \). Это вертикальная прямая, и ее можно описать параметрически: \[ \mathbf{r_1}(t) = (0, 0, t), \quad t \in [0, 5]. \]
Прямая \( BC \) проходит через точки \( B(5, 0, 0) \) и \( C(5, 5, 0) \). Ее уравнение также можно описать параметрически: \[ \mathbf{r_2}(s) = (5, s, 0), \quad s \in [0, 5]. \]
Теперь, чтобы найти расстояние между этими двумя прямыми, воспользуемся формулой для расстояния между параллельными прямыми или прямыми, которые не пересекаются. Таким образом, мы можем использовать векторное произведение.
Векторы направления прямых:
- Для \( AA_1 \): \( \mathbf{d_1} = (0, 0, 1) \)
- Для \( BC \): \( \mathbf{d_2} = (0, 5, 0) - (0, 0, 0) = (0, 5, 0) \)
Вектор, соединяющий произвольные точки на прямых \( A \) и \( B \): \[ \mathbf{A} = (0, 0, 0), \quad \mathbf{B} = (5, 0, 0) \] \[ \mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (5, 0, 0) - (0, 0, 0) = (5, 0, 0) \]
Теперь вычислим векторное произведение \( \mathbf{d_1} \) и \( \mathbf{d_2} \): \[ \mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2} = (0, 0, 1) \times (0, 5, 0) = (-5, 0, 0) \]
Норму векторного произведения: \[ |\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}| = 5 \]
Теперь находим расстояние между прямыми по формуле: \[ \text{Расстояние} = \frac{|\mathbf{AB} \cdot (\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2})|}{|\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}|} \]
Подставим значения: \[ \mathbf{AB} \cdot (\mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}) = (5, 0, 0) \cdot (-5, 0, 0) = -25 \]
Теперь подставляем в формулу: \[ \text{Расстояние} = \frac{|-25|}{5} = 5 \]
Таким образом, расстояние между прямыми \( AA_1 \) и \( BC \) равно \( 5 \) единиц.
