Разложите на множители: b ( − 10 + 3 b ) + 4 ( 10 − 3 b )

Для разложения выражения \( b(-10 + 3b) + 4(10 - 3b) \) на множители сначала упростим его:

1. Раскроем скобки: \[ b(-10) + b(3b) + 4(10) - 4(3b) = -10b + 3b^2 + 40 - 12b \]

2. Объединим подобные члены: \[ 3b^2 + (-10b - 12b) + 40 = 3b^2 - 22b + 40 \]

Теперь у нас есть квадратное выражение: \( 3b^2 - 22b + 40 \). Чтобы разложить его на множители, воспользуемся методом поиска корней.

1. Найдем корни квадратного уравнения \( 3b^2 - 22b + 40 = 0 \) с использованием дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 484 - 480 = 4 \]

2. Теперь находим корни: \[ b_1 = \frac{-(-22) + \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{22 + 2}{6} = \frac{24}{6} = 4 \] \[ b_2 = \frac{-(-22) - \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{22 - 2}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \]

Зная корни, можем записать выражение в виде: \[ 3(b - 4)(b - \frac{10}{3}) \]

Для удобства можно привести его к общему знаменателю: \[ = 3(b - 4)\left(b - \frac{10}{3}\right) = 3 \left(b - 4\right) \left(\frac{3b - 10}{3}\right) = (3b - 10)(b - 4) \]

Таким образом, окончательное разложенное выражение: \[ 3b^2 - 22b + 40 = (3b - 10)(b - 4) \]