log3³(x+1)*(x-1)=4
Чтобы решить уравнение \( \log_3^3 (x+1)(x-1) = 4 \), давайте сначала приведем его к более простому виду.
Перепишем уравнение: \[ \log_3((x+1)(x-1))^3 = 4 \]
Удаляем логарифм, применяя обратную операцию для логарифма (первое преобразование): \[ (x+1)(x-1)^3 = 3^4 \] Здесь \( 3^4 = 81 \).
Теперь у нас получается уравнение: \[ (x^2 - 1)^3 = 81 \]
Разберём его дальше, извлекая корень кубический из обеих сторон: \[ x^2 - 1 = 3 \quad \text{или} \quad x^2 - 1 = -3 \]
Для первого случая \( x^2 - 1 = 3 \): \[ x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \]
Для второго случая \( x^2 - 1 = -3 \): \[ x^2 = -2 \] Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Теперь у нас есть кандидаты на решения: \( x = 2 \) и \( x = -2 \). Но нам нужно убедиться, что решения подходят под условия логарифма. Аргумент логарифма должен быть положительным.
Проверяем:
Для \( x = 2 \): \[ x + 1 = 3 > 0 \quad и \quad x - 1 = 1 > 0 \] Аргумент положителен, это решение подходит.
Для \( x = -2 \): \[ x + 1 = -1 < 0 \quad и \quad x - 1 = -3 < 0 \] Аргумент отрицателен, это решение не подходит.
Таким образом, единственное действительное решение уравнения: \[ \boxed{2} \]
