Решите неравенство (x-3)(2x+3)<-7

Чтобы решить неравенство \((x-3)(2x+3)<-7\), давайте сначала преобразуем его, чтобы упростить решение.

1. Переносим -7 в левую часть неравенства: \[ (x-3)(2x+3) + 7 < 0 \]

2. Развернем произведение: \[ (x-3)(2x+3) = 2x^2 + 3x - 6x - 9 = 2x^2 - 3x - 9 \] Теперь подставим это обратно в неравенство: \[ 2x^2 - 3x - 9 + 7 < 0 \] Упростим: \[ 2x^2 - 3x - 2 < 0 \]

3. Теперь найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 - 3x - 2 = 0\) с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \]

4. Теперь найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{4} \] Таким образом: \[ x_1 = \frac{8}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

5. Теперь мы знаем корни \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -\frac{1}{2}\). Следующим шагом следует определить знаки выражения \(2x^2 - 3x - 2\) на интервалах, делящих корни:

• Интервал \((-\infty, -\frac{1}{2})\)
• Интервал \((- \frac{1}{2}, 2)\)
• Интервал \((2, +\infty)\)

6. Выберем точку в каждом интервале и определим знак:

• Для \(-1\) (интервал \((-\infty, -\frac{1}{2})\)): \[ 2(-1)^2 - 3(-1) - 2 = 2 + 3 - 2 = 3 > 0 \]

• Для \(0\) (интервал \((- \frac{1}{2}, 2)\)): \[ 2(0)^2 - 3(0) - 2 = -2 < 0 \]

• Для \(3\) (интервал \((2, +\infty)\)): \[ 2(3)^2 - 3(3) - 2 = 18 - 9 - 2 = 7 > 0 \]

7. Теперь мы видим, что \(2x^2 - 3x - 2 < 0\) выполняется на интервале \((- \frac{1}{2}, 2)\).

8. Ответ на неравенство: \[ -\frac{1}{2} < x < 2 \]

Таким образом, решение неравенства \((x-3)(2x+3)<-7\) — это: \[ x \in \left(-\frac{1}{2}, 2\right) \]