Петя написал на доске семизначное число. Для каждой пары соседних цифр этого числа Вася записал себе в тетрадку их сумму. Оказалось, что у Васи все числа различные. Какое…

Для начала, давайте обозначим семизначное число как \( a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 \), где \( a_i \) - это цифры от 0 до 9. Васе интересны суммы каждой пары соседних цифр, а именно:

• \( S_1 = a_1 + a_2 \)
• \( S_2 = a_2 + a_3 \)
• \( S_3 = a_3 + a_4 \)
• \( S_4 = a_4 + a_5 \)
• \( S_5 = a_5 + a_6 \)
• \( S_6 = a_6 + a_7 \)

Всего у Васи записано 6 сумм, и все они должны быть различными. Заметим, что сумма двух цифр может принимать значения от 0 (если обе цифры 0) до 18 (если обе цифры 9).

Итак, возможные значения сумм: 0, 1, 2, ..., 18. Их всего 19. Поскольку у нас 6 различных сумм, они могут принимать любое значение из этих 19.

Теперь необходимо составить такой набор цифр \( a_i \), чтобы все суммы были различными. При этом постараемся сделать каждую сумму максимально возможной.

Для достижения максимального числа \( a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 \), важно, чтобы цифры от \( a_1 \) до \( a_7 \) были как можно более высокими.

Рассмотрим числа 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. Чтобы получить уникальные суммы, удобно начать с больших цифр:

1. Пусть \( a_1 = 9 \)
2. Пусть \( a_2 = 8 \)
3. Пусть \( a_3 = 7 \)
4. Пусть \( a_4 = 6 \)
5. Пусть \( a_5 = 5 \)
6. Пусть \( a_6 = 4 \)
7. Пусть \( a_7 = 3 \)

Теперь найдем суммы:

• \( S_1 = 9 + 8 = 17 \)
• \( S_2 = 8 + 7 = 15 \)
• \( S_3 = 7 + 6 = 13 \)
• \( S_4 = 6 + 5 = 11 \)
• \( S_5 = 5 + 4 = 9 \)
• \( S_6 = 4 + 3 = 7 \)

Все суммы \( \{17, 15, 13, 11, 9, 7\} \) различны.

Таким образом, Петя мог написать число 9876543.

Максимальное семизначное число, которое мог написать Петя, равно 9876543.