Петя написал на доске семизначное число. Для каждой пары соседних цифр этого числа Вася записал себе в тетрадку их сумму. Оказалось, что у Васи все числа различные. Какое…

Рассмотрим задачу. Петя написал семизначное число, которое состоит из семи цифр. Для каждой пары соседних цифр Вася записал их сумму. Это означает, что у нас 6 пар цифр, так как для семизначного числа количество пар соседних цифр всегда на 1 меньше, чем общее количество цифр.

Пусть цифры семизначного числа обозначим как \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7 \). Соответственно, суммы соседних цифр будут:

1. \( S_1 = a_1 + a_2 \)
2. \( S_2 = a_2 + a_3 \)
3. \( S_3 = a_3 + a_4 \)
4. \( S_4 = a_4 + a_5 \)
5. \( S_5 = a_5 + a_6 \)
6. \( S_6 = a_6 + a_7 \)

Васе удалось записать все суммы различными, что подразумевает, что каждая из этих 6 сумм должна отличаться от остальных.

Суммы \( S_i \) могут варьироваться от 0 (в случае, если обе цифры равны 0, чего, конечно, не может быть в семизначном числе) до 18 (если обе цифры равны 9). Тем самым, диапазон возможных сумм составляет от 1 до 18.

Чтобы иметь 6 различных сумм, мы можем выбрать, например, значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Заметим, что максимальная сумма возможна при использовании большего количества различных значений, однако, они не должны повторяться.

Теперь давайте подберем цифры так, чтобы максимизировать семизначное число \( a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 \) при условии уникальности сумм. Самые высокие цифры от 9 до 0:

1. Если возьмем \( 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 \), суммы будут достаточно высокими, но могут пересекаться.
2. Лучше всего использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, чтобы получить сумму равную 8 или менее, сохранив уникальность.

Рассмотрим пример 9876543:

• \( 9 + 8 = 17 \)
• \( 8 + 7 = 15 \)
• \( 7 + 6 = 13 \)
• \( 6 + 5 = 11 \)
• \( 5 + 4 = 9 \)
• \( 4 + 3 = 7 \)

Суммы составляют 17, 15, 13, 11, 9, и 7 – они все уникальны!

Таким образом, максимальное семизначное число, которое мог написать Петя - 9876543.