Петя написал на доске семизначное число. Для каждой пары соседних цифр этого числа Вася записал себе в тетрадку их сумму. Оказалось, что у Васи все числа различные. Какое…

Для решения задачи давайте представим семизначное число, состоящее из цифр \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7 \). Васе нужно записать суммы для каждой пары соседних цифр:

\[ s_1 = a_1 + a_2, \quad s_2 = a_2 + a_3, \quad s_3 = a_3 + a_4, \quad s_4 = a_4 + a_5, \quad s_5 = a_5 + a_6, \quad s_6 = a_6 + a_7 \]

Таким образом, у нас есть 6 сумм: \( s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, s_6 \). Условия задачи предполагают, что все эти суммы должны быть различными.

Суммы \( s_i \) могут принимать значения от 0 до 18, так как каждая цифра — это число от 0 до 9. Следовательно, всего существует 19 различных значений для сумм, что позволяет нам выбирать 6 различных сумм.

Для максимизации семизначного числа, мы хотим, чтобы цифры \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7 \) были как можно больше. Начнем с максимальной цифры:

Давайте попробуем использовать максимальные четырёхзначные цифры, такие как 9 и 8. Попробуем построить число, начинающееся с 9:

1. Пусть \( a_1 = 9 \).
2. Установим \( a_2 = 8 \).
3. Чтобы числа были различными, попробуем \( a_3 = 7 \), \( a_4 = 6 \), \( a_5 = 5 \), \( a_6 = 4 \), \( a_7 = 3 \).

Таким образом, мы получаем число 9876543. Рассчитаем суммы:

\[ \begin{align*} s_1 & = 9 + 8 = 17, \\ s_2 & = 8 + 7 = 15, \\ s_3 & = 7 + 6 = 13, \\ s_4 & = 6 + 5 = 11, \\ s_5 & = 5 + 4 = 9, \\ s_6 & = 4 + 3 = 7. \\ \end{align*} \]

Все суммы: 17, 15, 13, 11, 9, 7 — это различные числа.

Таким образом, максимальное число, которое мог написать Петя, будет 9876543.