36/x+3+48/x-3=6
Чтобы решить уравнение \( \frac{36}{x+3} + \frac{48}{x-3} = 6 \), давайте начнем с того, что умножим обе стороны уравнения на общий знаменатель, который в данном случае будет \( (x+3)(x-3) \). Это поможет избавиться от дробей.
Распишем уравнение:
\[ (x+3)(x-3) \cdot \left(\frac{36}{x+3} + \frac{48}{x-3}\right) = 6 \cdot (x+3)(x-3) \]
Упрощаем каждую часть. Первую часть можно упростить следующим образом:
\[ 36(x-3) + 48(x+3) = 6(x^2 - 9) \]
Теперь раскроем скобки:
\[ 36x - 108 + 48x + 144 = 6x^2 - 54 \]
Теперь объединим подобные члены с левой стороны:
\[ 84x + 36 = 6x^2 - 54 \]
Теперь переместим все члены в одну сторону:
\[ 6x^2 - 84x - 54 - 36 = 0 \]
Это уравнение можно упростить:
\[ 6x^2 - 84x - 90 = 0 \]
Можно разделить все коэффициенты на 6:
\[ x^2 - 14x - 15 = 0 \]
Теперь можем использовать формулу квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 1, b = -14, c = -15 \). Для нахождения корней уравнения воспользуемся дискриминантом:
\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 16}{2} \]
Это дает нам два возможных значения:
- \( x_1 = \frac{30}{2} = 15 \)
- \( x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \)
Таким образом, у нас есть два решения уравнения \( x = 15 \) и \( x = -1 \). Однако нужно помнить, что \( x \) не должен равняться -3 (ноль в знаменателе), но оба корня удовлетворяют этому условию.
Ответ: \( x = 15 \) и \( x = -1 \).
