В компанию «Рожки и Лапки» устроилось некоторое количество тружеников и 310 лентяев. Каждый день на работу приходило по 50 человек, причём в конце рабочего дня 25 из них говорили:…
В компанию «Рожки и Лапки» устроилось некоторое количество тружеников и 310 лентяев. Каждый день на работу приходило по 50 человек, причём в конце рабочего дня 25 из них говорили: «Сегодня на работу пришло ровно 20 лентяев». Известно, что труженики всегда говорили правду, а лентяи всегда лгали. Через п дней оказалось, что каждый из лентяев сходил на работу ровно 1 раз. a) (2 балла) Найдите наибольшее возможное значение п. Число б) (2 балла) Найдите наименьшее возможное значение п.
Давайте разберёмся с задачей по частям.
На первом этапе запишем все известные данные:
- Всего в компании «Рожки и Лапки» работают 310 лентяев и некоторое количество тружеников.
- Каждый день на работу приходило по 50 человек.
- Из этих 50 человек 25 утверждали, что сегодня на работу пришло ровно 20 лентяев.
- Труженики всегда говорят правду, а лентяи всегда лгут.
- Каждый из лентяев ходил на работу ровно один раз.
a) Найдите наибольшее возможное значение \( p \).
Поскольку 25 человек сказали, что на работу пришло ровно 20 лентяев, то нужно понять, кто из них говорит правду.
Если предположить, что из 25 правдивых (тружеников) – это максимальное количество тружеников, которое может сказать правду. Поскольку максимальное количество лентяев, которое может присутствовать, составляет 310, а если 20 из них будут на работе, то все 25 не могут быть тружениками, иначе их утверждение будет неправильным.
Скажите, сколько лентяев пришло на работу на самом деле:
- Если 20 лентяев на самом деле пришли (в этом случае 25 тружеников говорят правду), то это количество может варьироваться. Поскольку 310 лентяев в итоге посетят работу ровно раз, 20 лентяев могут прийти только в один из рабочих дней, а значит в будущем это повлияет на количество пришедших тружеников.
При условии, что лентяев приходило всего один раз и 20 – это максимальное количество, в этом случае количество рабочих дней (\( p \)) должно равняться:
\[ p = \frac{310}{20} = 15.5 \]
Однако так как количество рабочих дней не может быть дробным, наибольшее возможное значение \( p \) при этом будет равным 15.
б) Найдите наименьшее возможное значение \( p \).
Наименьшее значение \( p \) должно учитывать ситуации, когда наименьшее количество лентяев пришло на работу. Если на каждом рабочем дне приходило не более 20 лентяев, то наименьшее количество лентяев, которое должно было бы прийти минимум один раз:
Каждый день приходило 50 человек, поэтому даже если один лентяй пришел в \( p \) дней, он должен был прийти каждый раз, когда работали. Если бы пришли только труженик и один лентяй, и лентяй пришел каждый день, то \( p \) равно:
Не забывайте, что 25 тружеников все же должны сказать правду. В этом случае минимально возможно значение \( p \) будет равно 1, так как все лентяи могли бы прийти за один день.
Резюме:
a) Наибольшее возможное значение \( p \) = 15.
б) Наименьшее возможное значение \( p \) = 1.
