Дан треугольник ABC, в котором ∠C=90°, а sinB=3√6/10√10. Найди cos2B.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

В данном треугольнике ABC, где ∠C = 90°, мы имеем следующую информацию: sinB = 3√6 / (10√10).

Чтобы найти cos²B, нам нужно использовать основное тригонометрическое соотношение:

\[ \sin^2B + \cos^2B = 1 \]

Сначала найдем sin²B:

\[ \sin^2B = \left(\frac{3\sqrt{6}}{10\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{(3\sqrt{6})^2}{(10\sqrt{10})^2} = \frac{9 \cdot 6}{100 \cdot 10} = \frac{54}{1000} = \frac{27}{500} \]

Теперь подставим это значение в уравнение для нахождения cos²B:

\[ \cos^2B = 1 - \sin^2B = 1 - \frac{27}{500} = \frac{500 - 27}{500} = \frac{473}{500} \]

Теперь найдем cos²(2B) используя формулу:

\[ \cos(2B) = 2\cos^2B - 1 \]

Подставим найденное значение cos²B:

\[ \cos(2B) = 2\left(\frac{473}{500}\right) - 1 = \frac{946}{500} - \frac{500}{500} = \frac{446}{500} \]

Теперь найдем cos²(2B):

\[ \cos^2(2B) = \left(\frac{446}{500}\right)^2 = \frac{446^2}{500^2} = \frac{198916}{250000} \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \cos^2(2B) = \frac{198916}{250000} \]

Это значение cos²(2B) для заданного треугольника. Если потребуется более глубокое объяснение или помощь с другими аспектами, не стесняйтесь спрашивать!