Чтобы найти площадь сечения усеченного конуса, проводимого через середину высоты и параллельного основаниям, можно воспользоваться свойствами подобия и формулами для площадей кругов.
Обозначим данные:
- Площадь большего основания ( S_1 = 25 , \text{см}^2 )
- Площадь меньшего основания ( S_2 = 9 , \text{см}^2 )
Найдём радиусы оснований:
Площадь круга рассчитывается по формуле:
[
S = \pi r^2
]
Отсюда радиусы можно найти следующим образом:
[
r_1 = \sqrt{\frac{S_1}{\pi}} = \sqrt{\frac{25}{\pi}} = \frac{5}{\sqrt{\pi}}
]
[
r_2 = \sqrt{\frac{S_2}{\pi}} = \sqrt{\frac{9}{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}}
]
Согласно свойству подобия:
Если сечение проводится на половине высоты усеченного конуса, то радиусы сечения будут равны средней геометрической между радиусами оснований. Формула для радиуса сечения:
[
r = \sqrt{r_1 \cdot r_2}
]
Подставляем значения:
[
r = \sqrt{\frac{5}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{3}{\sqrt{\pi}}} = \sqrt{\frac{15}{\pi}}
]
Находим площадь сечения:
Площадь сечения ( S ) равна площади круга с радиусом ( r ):
[
S = \pi r^2 = \pi \cdot \left(\sqrt{\frac{15}{\pi}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{15}{\pi} = 15 , \text{см}^2
]
Таким образом, площадь сечения, проведенного через середину высоты усеченного конуса, равна ( 15 , \text{см}^2 ).
Рисунок: Для создания рисунка представим усеченный конус, показав два основания (большее и меньшее) и сечение, проведенное через середину высоты. Вы можете нарисовать усеченный конус с двумя кругами и горизонтальную линию, показывающую сечение:
____
/ \
/ \
| |
\ /
\______/
Запомните, что верхний круг (меньший) будет меньше по радиусу, чем нижний (больший), и сечение параллельно основаниям, что делает его прямым.
