Найди площадь S поверхности сферы с центром в точке O(−7;8;−3) и проходящей через точку K(−11;−12;−8).

Чтобы найти площадь поверхности сферы, нам сначала нужно определить радиус этой сферы. Радиус рассчитывается как расстояние от центра сферы до любой точки на её поверхности. В данном случае центром сферы является точка O(-7; 8; -3), а на поверхности находится точка K(-11; -12; -8).

Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:

\[ r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Где:

• \( (x_1, y_1, z_1) \) – координаты точки O,
• \( (x_2, y_2, z_2) \) – координаты точки K.

Подставим значения:

\( x_1 = -7, y_1 = 8, z_1 = -3 \)
\( x_2 = -11, y_2 = -12, z_2 = -8 \)

Теперь посчитаем разности:

• \( x_2 - x_1 = -11 - (-7) = -11 + 7 = -4 \)
• \( y_2 - y_1 = -12 - 8 = -20 \)
• \( z_2 - z_1 = -8 - (-3) = -8 + 3 = -5 \)

Теперь подставим эти значения в формулу для радиуса:

\[ r = \sqrt{(-4)^2 + (-20)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 400 + 25} = \sqrt{441} = 21 \]

Таким образом, мы нашли радиус сферы \( r = 21 \).

Теперь мы можем найти площадь поверхности сферы по формуле:

\[ S = 4 \pi r^2 \]

Подставляем радиус:

\[ S = 4 \pi (21)^2 = 4 \pi \cdot 441 = 1764 \pi \]

Следовательно, площадь поверхности сферы с центром в точке O и проходящей через точку K равна \( 1764 \pi \) квадратных единиц.