Отрезок AB является диаметром сферы. Найди площадь S поверхности сферы, если A(5;−14;3) и B(3;−4;7).

Чтобы найти площадь поверхности сферы, сначала нужно определить радиус сферы. Диаметр \( AB \) можно вычислить, используя координаты точек \( A(5; -14; 3) \) и \( B(3; -4; 7) \).

1. Найдем длину отрезка AB: Длина отрезка между двумя точками в трехмерном пространстве определяется по формуле: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Подставим координаты точек \( A \) и \( B \):

   • \( x_1 = 5, y_1 = -14, z_1 = 3 \)
   • \( x_2 = 3, y_2 = -4, z_2 = 7 \)

   Таким образом, получаем: \[ d = \sqrt{(3 - 5)^2 + (-4 + 14)^2 + (7 - 3)^2} \] \[ d = \sqrt{(-2)^2 + (10)^2 + (4)^2} \] \[ d = \sqrt{4 + 100 + 16} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30} \]

2. Определим радиус сферы: Радиус \( r \) равен половине длины диаметра: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{30}}{2} = \sqrt{30} \]

3. Найдем площадь поверхности сферы: Площадь поверхности сферы определяется по формуле: \[ S = 4\pi r^2 \] Подставляем значение радиуса: \[ S = 4\pi (\sqrt{30})^2 = 4\pi \cdot 30 = 120\pi \]

Таким образом, площадь поверхности сферы равна \( 120\pi \) квадратных единиц.