Постройте график( напиши формулу, решение и значение для таблицы) функции y = -x2 -4х+5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются. объясни каждое значение в таблице ( формулу записи + объяснение )
Для функции \( y = -x^2 - 4x + 5 \) мы можем проанализировать её характеристики и построить график.
1. Найдем координаты вершины параболы
Для функции вида \( ax^2 + bx + c \) координаты вершины параболы находятся по формулам:
\[ x_{в} = -\frac{b}{2a} \] \[ y_{в} = f(x_{в}) = a(x_{в})^2 + b(x_{в}) + c \]
Где \( a = -1 \), \( b = -4 \), \( c = 5 \).
Найдем \( x_{в} \):
\[ x_{в} = -\frac{-4}{2 \cdot -1} = \frac{4}{-2} = -2 \]
Найдем \( y_{в} \):
\[ y_{в} = -(-2)^2 - 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \]
Вершина параболы находится в точке \((-2, 9)\).
2. Найти область определения и область значения
Область определения: Парабола определена для всех значений \( x \). Таким образом, область определения: \[ D = (-\infty, +\infty) \]
Область значения: Учитывая, что парабола открыта вниз (так как \( a < 0 \)), максимальное значение функции достигается в вершине. Поэтому область значения: \[ Z = (-\infty, 9] \]
3. Найти нули функции
Для нахождения нулей функции нужно решить уравнение \( y = 0 \):
\[ -x^2 - 4x + 5 = 0 \implies x^2 + 4x - 5 = 0 \]
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]
Теперь найдем корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \]
\[ x_1 = \frac{2}{2} = 1 \quad , \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]
Таким образом, нули функции: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -5 \).
4. Промежутки знакопостоянства
Функция положительна на промежутках, где \( y > 0 \) и отрицательна, где \( y < 0 \).
Проверим знаки на промежутках:
- \( (-\infty, -5) \), берем \( x = -6 \): \( y = -(-6)^2 - 4(-6) + 5 = -36 + 24 + 5 < 0 \) (отрицательная)
- \( (-5, 1) \), берем \( x = 0 \): \( y = -0^2 - 4(0) + 5 = 5 > 0 \) (положительная)
- \( (1, +\infty) \), берем \( x = 2 \): \( y = -2^2 - 4(2) + 5 = -4 - 8 + 5 < 0 \) (отрицательная)
Таким образом, промежутки знакопостоянства:
- \( y < 0 \): \( (-\infty, -5) \cup (1, +\infty) \)
- \( y > 0 \): \( (-5, 1) \)
5. Промежутки возрастания и убывания
- Возрастает на \( (-\infty, -2) \)
- Убывает на \( (-2, +\infty) \)
6. Найдем наименьшее и наибольшее значения функции
- Наименьшее значение: Нет (функция убывает до \( -\infty \))
- Наибольшее значение: 9 (в точке \( x = -2 \))
Итоговая таблица значений
| Параметр | Запись | Значение |
|---|---|---|
| Область определения | \( D \) | \( (-\infty, +\infty) \) |
| Область значения | \( Z \) | \( (-\infty, 9] \) |
| Нули функции | \( y = 0 \) | \( x_1 = 1, \; x_2 = -5 \) |
| Промежутки знакопостоянства | \( y > 0 \) и \( y < 0 \) | \( y < 0: (-\infty, -5) \cup (1, +\infty) \) \ |
| \( y > 0: (-5, 1) \) | ||
| Промежутки возрастания | Возрастает | \( (-\infty, -2) \) |
| Промежутки убывания | Убывает | \( (-2, +\infty) \) |
| Наименьшее значение | нет | |
| Наибольшее значение | \( 9 \) (при \( x = -2 \)) |
Теперь вы можете использовать эти данные для построения графика функции и дальнейшего анализа!
