Объем конуса равен 567. Через треть высоты, считая от вершины конуса, параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Чтобы найти объем меньшего конуса, нам нужно воспользоваться свойствами подобия и формулами для объемов конусов.

Объем исходного конуса \( V \) равен 567. Формула объема конуса выглядит следующим образом:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, \]

где \( r \) – радиус основания, а \( h \) – высота конуса.

Когда мы проведём сечение через треть высоты (\( \frac{h}{3} \)), получим меньший конус, который подобен исходному конусу. Это значит, что все размеры меньшего конуса (высота и радиус основания) будут соотношениям с исходным конусом.

Если обозначить высоту меньшего конуса как \( h_1 \), то \( h_1 = \frac{h}{3} \).

Отношение высоты меньшего конуса к высоте исходного будет:

\[ k = \frac{h_1}{h} = \frac{1}{3}. \]

Так как конусы подобны, то и радиусы оснований также будут пропорциональны высотам, то есть:

\[ r_1 = k \cdot r = \frac{1}{3} r. \]

Теперь объем меньшего конуса \( V_1 \) можно выразить так:

\[ V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1. \]

Подставим \( r_1 \) и \( h_1 \):

\[ V_1 = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{1}{3} r \right)^2 \left( \frac{1}{3} h \right). \]

Упростим это выражение:

\[ V_1 = \frac{1}{3} \pi \frac{1}{9} r^2 \cdot \frac{1}{3} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{81} V. \]

Теперь мы знаем, что объем меньшего конуса \( V_1 \) равен:

\[ V_1 = \frac{1}{81} V. \]

Подставим известный объем исходного конуса:

\[ V_1 = \frac{1}{81} \cdot 567. \]

Теперь выполним умножение:

\[ V_1 = \frac{567}{81}. \]

Делим:

\[ 567 \div 81 = 7. \]

Таким образом, объем меньшего конуса равен \( 7 \) кубических единиц.