знайти площину повної поверхні прямого паралелепіпеда в основі якого лежить ромб із стороною 6 см і кутом 60° вічне ребро паралелепіпеда дорівнює 9 в корені 3 см
Чтобы найти площадь полной поверхности прямого параллелепипеда, нужно учитывать площади всех его граней: две основанные и четыре боковые грани.
Площадь основания: Поскольку основание является ромбом со стороной 6 см и углом 60°, сначала найдем его площадь. Площадь ромба вычисляется по формуле:
\[ S = a^2 \cdot \sin(\varphi) \]
Где:
- \( a \) - длина стороны ромба,
- \( \varphi \) - угол между сторонами.
В данном случае:
\[ S = 6^2 \cdot \sin(60^\circ) = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
Поскольку основание параллелепипеда имеет две грани (верхнюю и нижнюю), общая площадь оснований будет:
\[ S_{\text{основания}} = 2 \cdot S = 2 \cdot 18\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
Площадь боковых граней: Боковые грани параллелепипеда представляют собой прямоугольники. Учитывая, что высота параллелепипеда равна \( 9\sqrt{3} \) см, найдем площадь боковых граней.
Каждая боковая грань имеет размеры:
- Две грани с размерами длина стороны ромба и высота: \( 6 \times 9\sqrt{3} \).
- Две грани с размерами диагонали ромба и высота.
Сначала найдем диагонали ромба. Формула для диагоналей:
\[ d_1 = a \cdot \sqrt{2 + 2\cos(\varphi)} = 6 \cdot \sqrt{2 + 2\cos(60^\circ)} = 6 \cdot \sqrt{2 + 2 \cdot \frac{1}{2}} = 6\sqrt{2} \]
\[ d_2 = a \cdot \sqrt{2 - 2\cos(\varphi)} = 6 \cdot \sqrt{2 - 2 \cdot \frac{1}{2}} = 6 \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]
Площадь боковых граней:
\[ S_{\text{боковые}} = 2 \cdot (6 \cdot 9\sqrt{3}) + 2 \cdot (6\sqrt{2} \cdot 9\sqrt{3}) = 108\sqrt{3} + 108\sqrt{6} \]
Общая площадь поверхности: Объединим все площади.
\[ S_{\text{полная}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковые}} = 36\sqrt{3} + 108\sqrt{3} + 108\sqrt{6} = 144\sqrt{3} + 108\sqrt{6} \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь полной поверхности прямого параллелепипеда составляет \( 144\sqrt{3} + 108\sqrt{6} \, \text{см}^2 \).
