5. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(1;3) и В(-2;-3). РЕШИ ЧЕРЕЗ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ ОБЯЗАТЕЛЬНО
Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки A(1;3) и B(-2;-3), воспользуемся системой уравнений. Давайте сначала найдем угловой коэффициент (k) прямой, а затем используем его для составления уравнения.
- Найдем угловой коэффициент (k): Угловой коэффициент вычисляется по формуле: \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек A и B соответственно. Подставим значения:
\[ k = \frac{-3 - 3}{-2 - 1} = \frac{-6}{-3} = 2 \]
Таким образом, угловой коэффициент k равен 2.
- Сформулируем уравнение прямой в точке-наклонной форме: Используя точку A(1;3) и угловой коэффициент k, можем записать уравнение прямой: \[ y - y_1 = k(x - x_1) \] Подставим значения:
\[ y - 3 = 2(x - 1) \]
- Преобразуем уравнение: Раскроем скобки и приведем подобные: \[ y - 3 = 2x - 2 \] \[ y = 2x + 1 \]
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A и B, имеет вид: \[ y = 2x + 1 \]
Теперь, чтобы подтвердить нахождение уравнения через систему линейных уравнений, можем составить систему, используя точки A и B.
- Система уравнений: Предположим, у нас есть два уравнения:
- Для точки A(1; 3): \( 1k + b = 3 \) (где k - угловой коэффициент, b - свободный член)
- Для точки B(-2; -3): \( -2k + b = -3 \)
Запишем систему: \[ \begin{cases} k + b = 3 \quad (1)\\ -2k + b = -3 \quad (2) \end{cases} \]
Теперь решим эту систему. Из уравнения (1) выразим b: \[ b = 3 - k \]
Теперь подставим b в уравнение (2): \[ -2k + (3 - k) = -3 \] \[ -2k + 3 - k = -3 \] \[ -3k + 3 = -3 \] \[ -3k = -6 \] \[ k = 2 \]
Подставив k обратно в (1): \[ 2 + b = 3 \] \[ b = 1 \]
Итак, мы снова пришли к тому же уравнению: \[ y = 2x + 1 \]
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A(1;3) и B(-2;-3), равно \( y = 2x + 1 \).
