9. Металлический шарик падает с высоты 7.62 м из покоя и абсолютно неупруго сталкивается с поверхностью, после чего его температура повышается на 0.584 К, Считая, что вся кинетическая энергия движения шарика перешла в теплоту, определите удельную теплоемкость материала шарика 10. Рассмотрите рисунок. Изначально система с идеальным газом под поршнем в равновесии при температуре 313 К и давлении 137 кПа. Далее на поршень кладут дополнительный груз, после чего высота поршня снижается с 23.4 см до 20.0 см. Определите конечное давление в системе
9. Определение удельной теплоемкости материала шарика:
Для решения данной задачи используем закон сохранения энергии. При падении металлического шарика с высоты h возможна полная передача его потенциальной энергии в теплоту, которая вызывает изменение температуры.
Расчёт потенциальной энергии шарика: Потенциальная энергия \( E_p \) на высоте \( h \) задаётся формулой: \[ E_p = mgh \] где:
- \( m \) — масса шарика,
- \( g \) — ускорение свободного падения (приблизительно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \)),
- \( h = 7.62 \, \text{м} \).
Расчёт затраченной теплоты (тепловая энергия): Изменение теплоты \( Q \), передавшееся шарика, можно выразить через удельную теплоемкость \( c \): \[ Q = mc\Delta T \] где:
- \( \Delta T = 0.584 \, \text{К} \).
Сравнение потенциальной энергии и теплоты: Применяя закон сохранения энергии: \[ mgh = mc\Delta T \] Упрощая уравнение и сокращая массу \( m \) (предполагается, что она не равна нулю): \[ gh = c\Delta T \] Теперь можем выразить \( c \): \[ c = \frac{gh}{\Delta T} \]
Подставим значения: \[ c = \frac{(9.81 \, \text{м/с}^2) \times (7.62 \, \text{м})}{0.584 \, \text{К}} \] \[ c = \frac{74.76762 \, \text{м}^2/\text{с}^2}{0.584} \approx 128.82 \, \text{Дж/(кг·К)} \]
Таким образом, удельная теплоемкость материала шарика составляет приблизительно 128.82 Дж/(кг·К).
10. Определение конечного давления в системе:
Изначально система с идеальным газом находится в равновесии. Используем закон Бояля-Мариотта, который описывает связь между давлением, объёмом и температурой газа для данной массы идеального газа.
- Исходные параметры:
- Начальное давление \( P_1 = 137 \, \text{кПа} \),
- Первоначальный объём \( V_1 = H_1 \cdot S = 0.234 \, \text{м} \cdot S \),
- Конечный объём \( V_2 = H_2 \cdot S = 0.200 \, \text{м} \cdot S \).
Если \( S \) — площадь поперечного сечения поршня, она сократится в дальнейших вычислениях.
Формула Бояля-Мариотта: \[ P_1 V_1 = P_2 V_2 \]
Скорректируем формулу: Используем, что объём пропорционален высоте поршня: \[ P_1 \cdot (0.234) = P_2 \cdot (0.200) \]
Решим уравнение для конечного давления \( P_2 \): \[ P_2 = P_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} = 137 \cdot \frac{0.234}{0.200} \] \[ P_2 = 137 \cdot 1.17 \approx 160.29 \, \text{кПа} \]
Таким образом, конечное давление в системе составит приблизительно 160.29 кПа.
