Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T (t) = To + bt + at', где t — время в минутах, То = 1560 K, a = — 12,5 к/мин, b = 125 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1860 K прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Дано уравнение зависимости температуры от времени:
\[ T(t) = T_0 + bt + at^2 \]
где:
- \( T_0 = 1560 \) K,
- \( a = -12.5 \) K/мин,
- \( b = 125 \) K/мин.
Необходимо найти максимальное время \( t \) (в минутах), при котором температура не превышает 1860 K.
Условие: \( T(t) \leq 1860 \).
Подставим значения в уравнение:
\[ T(t) = 1560 + 125t - 12.5t^2 \]
Теперь найдем, при каком значении \( t \) температура достигает 1860 K:
\[ 1860 = 1560 + 125t - 12.5t^2 \]
Перепишем уравнение:
\[ 0 = 1860 - 1560 - 125t + 12.5t^2 \]
Упростим:
\[ 0 = 300 - 125t + 12.5t^2 \]
Умножим на -1 для упрощения:
\[ 0 = -12.5t^2 + 125t - 300 \]
Теперь переместим все на одну сторону:
\[ 12.5t^2 - 125t + 300 = 0 \]
Разделим всё уравнение на 12.5:
\[ t^2 - 10t + 24 = 0 \]
Теперь можно воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1, b = -10, c = 24 \).
Подставляем значения:
\[ t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2} \] \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ t = \frac{10 \pm 2}{2} \]
Получаем два значения для \( t \):
- \( t_1 = \frac{12}{2} = 6 \) мин,
- \( t_2 = \frac{8}{2} = 4 \) мин.
Поскольку нам нужно найти наибольшее время, при котором температура не превышает 1860 K, ответ:
6 минут.
