В амфитеатре 15 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 12 12 мест, а в шестом ряду 24 24 места. Сколько всего…

Обозначим количество мест в первом ряду как \( a \), а количество мест, которое добавляется в каждом следующем ряду, как \( d \). Тогда количество мест в ряду можно записать как:

• 1-й ряд: \( a \)
• 2-й ряд: \( a + d \)
• 3-й ряд: \( a + 2d \)
• 4-й ряд: \( a + 3d \)
• 5-й ряд: \( a + 4d \)
• 6-й ряд: \( a + 5d \)

По условию задачи, известно, что в третьем ряду 12 мест:

\[ a + 2d = 12 \]

Также известно, что в шестом ряду 24 места:

\[ a + 5d = 24 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( a + 2d = 12 \) (1)
2. \( a + 5d = 24 \) (2)

Вычтем (1) из (2):

\[ (a + 5d) - (a + 2d) = 24 - 12 \]

Это упрощается до:

\[ 3d = 12 \implies d = 4 \]

Теперь подставим значение \( d \) в (1):

\[ a + 2 \cdot 4 = 12 \] \[ a + 8 = 12 \implies a = 4 \]

Теперь мы знаем, что в первом ряду 4 места, и количество мест в каждом ряду можно описать формулой:

\[ \text{Количество мест в } n \text{-ом ряду} = a + (n - 1)d = 4 + (n - 1) \cdot 4 = 4n \]

Теперь можем найти количество мест в каждом ряду от 1 до 15:

• 1-й ряд: \( 4 \cdot 1 = 4 \)
• 2-й ряд: \( 4 \cdot 2 = 8 \)
• 3-й ряд: \( 4 \cdot 3 = 12 \)
• 4-й ряд: \( 4 \cdot 4 = 16 \)
• 5-й ряд: \( 4 \cdot 5 = 20 \)
• 6-й ряд: \( 4 \cdot 6 = 24 \)
• 7-й ряд: \( 4 \cdot 7 = 28 \)
• 8-й ряд: \( 4 \cdot 8 = 32 \)
• 9-й ряд: \( 4 \cdot 9 = 36 \)
• 10-й ряд: \( 4 \cdot 10 = 40 \)
• 11-й ряд: \( 4 \cdot 11 = 44 \)
• 12-й ряд: \( 4 \cdot 12 = 48 \)
• 13-й ряд: \( 4 \cdot 13 = 52 \)
• 14-й ряд: \( 4 \cdot 14 = 56 \)
• 15-й ряд: \( 4 \cdot 15 = 60 \)

Теперь найдём общее количество мест в амфитеатре, сложив все места:

\[ 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 + 36 + 40 + 44 + 48 + 52 + 56 + 60 \]

Это арифметическая прогрессия, где:

• Первый член \( a_1 = 4 \)
• Последний член \( a_{15} = 60 \)
• Число членов \( n = 15 \)

Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Подставим наши значения:

\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (4 + 60) = \frac{15}{2} \cdot 64 = 15 \cdot 32 = 480 \]

Таким образом, всего мест в амфитеатре:

\[ \boxed{480} \]