Решите

Привет! Давай разберёмся с задачей.

a) \(\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} \, dx\)

Для решения этого интеграла можно использовать замену. Пусть \( u = \cos x \). Тогда \( du = -\sin x \, dx \), или \(-du = \sin x \, dx\).

Подставим в интеграл: \[ \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} \, dx = \int \frac{-du}{u^2} \]

Это интеграл вида \(\int -u^{-2} \, du\), который решается как \(\frac{1}{u} + C\).

Получаем: \[ -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{\cos x} + C \]

То есть: \[ -\sec x + C \]

б) \(\int x^3 \ln x \, dx\)

Для этого интеграла подойдёт метод интегрирования по частям. Формула для интегрирования по частям: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\).

Выберем: \(u = \ln x\), следовательно \(du = \frac{1}{x} \, dx\); \(dv = x^3 \, dx\), следовательно \(v = \frac{x^4}{4}\).

Подставим в формулу: \[ \int x^3 \ln x \, dx = \frac{x^4}{4} \ln x - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx \]

Теперь упростим второй интеграл: \[ \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int \frac{x^3}{4} \, dx = \frac{1}{4}\int x^3 \, dx \]

Решаем этот интеграл: \[ \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{x^4}{16} + C \]

Итак, полный ответ: \[ \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C \]

Надеюсь, всё понятно! Если есть вопросы, не стесняйся спрашивать.