Найди площадь треугольника  M N K MNK, в котором  ∠ M = 45 ° ∠M=45°, из точки  N N проведена высота  N Q NQ, при этом  M Q = 3 MQ=3 мм,  Q K = 6 QK=6 мм.

Чтобы найти площадь треугольника \( MNK \), можно использовать формулу для площади треугольника через основание и высоту:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h, \]

где \( a \) — длина основания, а \( h \) — высота, проведенная к этому основанию.

В данном случае, высота \( NQ \) проведена из точки \( N \) к основанию \( MK \). Длина отрезка \( MQ = 3 \) мм, а длина отрезка \( QK = 6 \) мм. Таким образом, длина основания \( MK \) равна:

\[ MK = MQ + QK = 3 \, \text{мм} + 6 \, \text{мм} = 9 \, \text{мм}. \]

Теперь нужно определить высоту \( NQ \). Поскольку угол \( \angle M = 45^\circ \), мы можем использовать свойства треугольника с углом \( 45^\circ \). В этом случае высота также может быть найдена с учетом того, что треугольник \( MNQ \) является прямоугольным, с углом \( 45^\circ \) при \( M \).

Используя соотношение для треугольника с углом \( 45^\circ \):

\[ h = NQ = MQ = 3 \, \text{мм} \quad (\text{в соответствии с углом и равенством катетов}), \]

т.к. в таком треугольнике высота из вершины с углом \( 45^\circ \) равна длине отрезка, проведенного к основанию.

Теперь можем подставить найденные значения в формулу для площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot NQ = \frac{1}{2} \cdot 9 \, \text{мм} \cdot 3 \, \text{мм} = \frac{27 \, \text{мм}^2}{2} = 13.5 \, \text{мм}^2. \]

Таким образом, площадь треугольника \( MNK \) равна \( 13.5 \, \text{мм}^2 \).