В параллелограмме abcd со сторонами AB=4 и BC=3,с диагональю AC=6,найдите длину вектора AD-BA
В параллелограмме ABCD мы знаем длины сторон AB и BC, а также длину диагонали AC. Нам нужно найти длину вектора AD - BA.
Определим координаты вершин параллелограмма.
- Пусть точка A имеет координаты (0, 0).
- Точка B будет (4, 0), поскольку AB = 4.
- Важно понять, где находится точка C. Мы знаем, что BC = 3. Для это можно взять точку C с координатами (4, y), где y определяется из условия, что AC = 6.
Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками, чтобы найти y: \[ AC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (y - 0)^2} = 6 \] \[ 16 + y^2 = 36 \] \[ y^2 = 20 \quad \Rightarrow \quad y = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ или } y = -\sqrt{20} = -2\sqrt{5} \] Мы получим две возможности для точки C: (4, 2√5) или (4, -2√5).
Находим координаты точки D. В параллелограмме стороны противоположны и равны, поэтому:
- Точка D будет на расстоянии BC=3 от точки A. Вектор AD будет равен вектору BC, следовательно, координаты D можно найти как:
- D = B + (C - A) = (4, 0) + (4, y) = (4, 2\sqrt{5}) или (4, -2\sqrt{5}).
Теперь найдем векторы AD и BA.
- Вектор AD: \[ AD = D - A = (4, y) - (0, 0) = (4, y) \]
- Вектор BA: \[ BA = A - B = (0, 0) - (4, 0) = (-4, 0) \]
Теперь находим разницу векторов AD и BA: \[ AD - BA = (4, y) - (-4, 0) = (4 + 4, y - 0) = (8, y) \]
Находим длину вектора (8, y): \[ ||AD - BA|| = \sqrt{8^2 + y^2} = \sqrt{64 + 20} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \]
Таким образом, длина вектора AD - BA составляет \( 2\sqrt{21} \).
