При пересечении двух хорд одна из них делится на отрезки 20 см и 4 см, а вторая на отрезки, один из которых меньше другого на 2 см. Найти длину второй хорды.
Чтобы найти длину второй хорды, давайте воспользуемся свойством хорд, которые пересекаются в круге.
Пусть одна из хорд делится на отрезки 20 см и 4 см. Обозначим длину второй хорды как \( x \) и её отрезки как \( a \) и \( a - 2 \) (где \( a \) - длинный отрезок, а \( a - 2 \) - короткий).
Согласно свойству хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:
\[ 20 \times 4 = a \times (a - 2) \]
Теперь вычислим \( 20 \times 4 \):
\[ 80 = a(a - 2) \]
Раскроем скобки:
\[ 80 = a^2 - 2a \]
Приведем уравнение к стандартному виду:
\[ a^2 - 2a - 80 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -80 \). Подставим значения:
\[ a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80)}}{2 \cdot 1} \]
Считаем:
\[ a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} \] \[ a = \frac{2 \pm \sqrt{324}}{2} \] \[ a = \frac{2 \pm 18}{2} \]
Теперь найдем два возможных значения для \( a \):
- \( a = \frac{20}{2} = 10 \)
- \( a = \frac{-16}{2} = -8 \) (отрицательное значение не подходит)
Таким образом, \( a = 10 \) см. Теперь найдём второй отрезок:
\[ a - 2 = 10 - 2 = 8 \text{ см} \]
Теперь можем найти длину второй хорды:
\[ x = a + (a - 2) = 10 + 8 = 18 \text{ см} \]
Таким образом, длина второй хорды равна 18 см.
